Rasyonel sayilarla analiz

Question

Rasyonel sayilarda surekli bir $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ fonksiyonu icin, turevi soyle tanimlayalim

$f^\prime(x) = \lim_{n \to \infty} n(f(x+\frac{1}{n}) - f(x))$.

 

Ara deger (intermediate value), orta deger (mean value) e extrem deger (extreme value) teoremlerinin gecerliligi hakkinda ne diyebiliriz

Comments

evet uzayda "delikler" olunca analiz yapmak pek akil kari olmuyor. Bir uzayin tam olmasi ile yukaridaki bahsettigim teoemler arasida guclu bir baglanti oldugunu dusunuyorum

---

Ara değer ve maks/min değerler türevden bağımsız sağlanmaz.

Ortalama değer için türev gerekli tabii. Fakat senin verdiğin tanım sadece (pozitif olarak) $1/n$ yaklaşımı. Neden herhangi bir rasyonel $q$ yaklaşımı yapmayalım. Sen sadece içinden belki yakınsayan bir dizi alıyorsun ama bu reelin rasyonel kısıtlamasına denk gelmiyor.

Şu fonksiyon ortalama değer için iş görür her iki tanım için de: $$f(x) = \begin{cases} 0  & \text{$x<\sqrt 2$ ise,} \\ 1 & \text{$x>\sqrt 2$ ise} \end{cases}$$