Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
150 kez görüntülendi
$f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun cebirsel bir fonksiyon olmadığını gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (10.8k puan) tarafından  | 150 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu fonksiyonun cebirsel olduğunu varsayıp (Orta öğretim düzeyi bilgiler kullanarak) bir çelişki elde edeceğiz.

($P_n(x)$ sabit 0 değil ve) $P_m(x)$ ler derecesi $k_m$ olan polinomlar olmak üzere (burada, sabit 0 polinomunu da derecesini 0 kabul ediyorum):

$P_n(x)y^n+\cdots+P_0(x)=0$ ($y$ yerine $e^x$ yazıldığında bir özdeşlik olacak şekilde) $n+k_0+k_1+\cdots+k_n$ değeri en küçük olan (bir) eşitlik olsun.

(1) $P_n(x)e^{nx}+\cdots+P_1(x)e^x+P_0(x)=0$ olur.

Bu bir özdeşlik olduğu için, her iki tarafın türevleri de eşit olur.

(2) $(P_n'(x)+nP_n(x))e^{nx}+\cdots+(P_1'(x)+P_1(x))e^x+P_0'(x)=0$ olur.

(1) denkleminin her iki tarafını da $n$ ile çarpalım ve ikinci denklemden tarafa tarafa çıkaralım.

(3) $P_n'(x)e^{nx}+(P_{n-1}'(x)-P_{n-1}(x))e^{(n-1)x}+\cdots+(P_1'(x)-(n-1)P_1(x))e^x+(P_0'(x)-nP_0(x))=0$ olur.

(Yani, $e^x,\ P_n'(x)y^{n}+(P_{n-1}'(x)-P_{n-1}(x))y^{n-1}+\cdots+(P_1'(x)-(n-1)P_1(x))y+(P_0'(x)-nP_0(x))=0$ denklemini sağlar)

(Başkatsayı hariç) Diğer katsayıların derecesi, ilk denklemdeki ($y$ için) aynı dereceli terimi katsayının derecesine eşit olur.

Bu denklemde, soldaki polinomun $y$ ye göre derecesi ve katsayıların derecelerinin toplamı en fazla $n+k_0+k_1+\cdots+k_n-1$   olur.

Varsayımımızdan, bu eşitlikteki tüm katsayılar 0 polinomu olmak zorundadır.

Buradan, kolayca, $P_n(x)$ in (0 dan farklı bir $a$) bir sabit ve diğer tüm $P_k(x)$ lerin sabit 0 olduğu sonucuna varırız.

($a\neq0$ iken) $ae^{nx}=0$ Her $x$ için doğru olamaz. Çelişki.

Bu da iddiayı ispatlar.

(Edit: en sonda gereksiz şeyler yapmışım, kısalttım)

(5.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Burada cebirsel fonksiyon tanımındaki $y$ fonksiyonunun tanım kümesi sanırım cebirsel sayılar kümesinin bir alt kümesi olmalı eğer cebirsel bir fonksiyon  cebirsel bir sayıyı yine cebirsel bir sayıya götürüyorsa.
Öyle bir kısıtlamaya gerek yok. Sadece cebirsel sayılarda cebirsel bir değer alır. (Ama tanımda polinomların katsayılarının cebirsel sayı olması koşulu ile)
19,696 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
221,184 kullanıcı