Processing math: 58%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
981 kez görüntülendi

(an) yakınsak (veya sonsuza ıraksayan) bir dizi ve f:N+N+ bir 1-1 eşleme olsun.

nN+ için bn=af(n) olarak  tanımlayalım.

  1. (bn) dizisi de yakınsak (veya sonsuza ıraksayan) bir dizi olur mu?  Limiti aynı kalır mı?
  2. f 1-1 eşleme olmasa önceki sorunun cevabı değişir mi?
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 981 kez görüntülendi
(an) dizisi yakinsak olsun ve A degerine yakinsasin,

Bu demek ki N den buyuk her n oyle bir icin  ϵ var i |Aan|<ϵ.

I={a0,a1,,aN} kumesi sonlu. Yani yeterince buyuk bir M den buyuk m icin

bmI ama bu ayni zamanda  m>M icin |Abm|<ϵ anlamina gelir.

Yani dizi yakinsaksa indexleri yeniden adlandirmak dizinin limitini degistirmez?
onceki yorumumun 1. sorunun yarisini dogru cozdugumu kabul edersek, 2. sorunun cevabi hayir.

f sabit bir fonksiyon olsun. bn dizisnin limiti o sabit olacaktir, an yakinsakligindan (ve limitinden) ve iraksaklgindan bagimsiz olarak.
sanki bijection yerine injection kullanabiliriz gibime geliyor. xx+1 fonksyonu da limiti degistirmez gibime geldi
Tamam, bunu biraz daha düzgün bir şekilde yazabilirsen cevap olur. İkinci soru?
eger injection degilse f boyle bir garanti veremeyiz. Onceki yorumumda verdigim sabit fonksiyon ornegini yeniden veriyorum. f(x)=3 olsun mesela (bn) dizisi a3 e yakinsayacak her zaman (an) dizisinin karakterinden bagimsiz olarak.

Injection yerine daha zayıf bir koşul ile aynı limite sahip olması garanti edilebilir.

hmm sanirim {(x,y):f(x)=f(y)xy} kumesi sonluysa gene ayni islemi yapabiliriz ?
icimden baska bir ses ise monoton fonksyonlar ile alakali diyor bu soru
Daha da zayıflatmak mümkün.

EK: "{(x,y):f(x)=f(y), xy} kumesi sonluysa" koşulu çok kısıtlayıcı,

Düzeltme: "f(n)=n+1 bile bunu sağlamıyor." yazmıştım, bu hatalı.
hocam kafam karisti, birebir fonksiyonlar icin verdigim sart her zaman dogru degil mi. f(n)=n+1 icin yuarida verdigim sartlarla olusturulan kume bos kume?
Haklısın, benim hatam, (son kısmı: "f(n)=n+1bile bunu sağlamıyor.") dikkatsizce yazmışım.

(f için) O kadar kısıtlama gerekli değil, örneğin f(n)={n,n tekn1,n çift fonksiyonu için o küme sonsuz ama yine de lim olduğunu göstermek zor değil.

(O durumda yapılan ispatı fazla değiştirmeden) Daha az bir kısıtlama yeterli olur, onu demek istedim.

EK: monotonluk da o kadar önemli değil.
bulamadim :(

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Şunu ispatlayacağız:

f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{N}^+, \forall n\in\mathbb{N}^+ için f^{-1}(\{n\}) sonlu bir küme ve \lim a_n=L ise (L\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}) ise \lim a_{f(n)}=L olur.

(İspatı L\in\mathbb{R} için yapacağım, L\in\{\pm\infty\}=\{+\infty,-\infty\} ise, ispat hemen hemen aynı olacaktır)

Bir \varepsilon>0 sayısı verilsin, Limit tanımından,

\forall n\geq K için |a_n-L|<\varepsilon olacak şekilde bir K\in\mathbb{N}^+ vardır.

A=\{n\in\mathbb{N}^+:f(n)<K\}=\bigcup_{m=1}^{K-1}f^{-1}(\{m\}) olsun. Hipotezimizden, A sonlu bir kümedir (\emptyset da olabilir).

M=1+\max A olsun (A=\emptyset ise M=1 alalım).

Şimdi \forall \ n\geq M için f(n)\geq K, dolayısıyla |a_{f(n)}-L|<\varepsilon olur.

(Bu koşulu sağlamayan ve \lim a_{f(n)}\neq L şeklinde bir fonksiyon örneğini zaten @eloi bulmuştu)

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,295 soru
21,836 cevap
73,535 yorum
2,689,843 kullanıcı