Şunu ispatlayacağız:
f:N+→N+, ∀n∈N+ için f−1({n}) sonlu bir küme ve liman=L ise (L∈R∪{+∞,−∞}) ise limaf(n)=L olur.
(İspatı L∈R için yapacağım, L∈{±∞}={+∞,−∞} ise, ispat hemen hemen aynı olacaktır)
Bir ε>0 sayısı verilsin, Limit tanımından,
∀n≥K için |an−L|<ε olacak şekilde bir K∈N+ vardır.
A={n∈N+:f(n)<K}=⋃K−1m=1f−1({m}) olsun. Hipotezimizden, A sonlu bir kümedir (∅ da olabilir).
M=1+maxA olsun (A=∅ ise M=1 alalım).
Şimdi ∀ n≥M için f(n)≥K, dolayısıyla |af(n)−L|<ε olur.
(Bu koşulu sağlamayan ve limaf(n)≠L şeklinde bir fonksiyon örneğini zaten @eloi bulmuştu)