Şunu ispatlayacağız:
f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{N}^+, \forall n\in\mathbb{N}^+ için f^{-1}(\{n\}) sonlu bir küme ve \lim a_n=L ise (L\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}) ise \lim a_{f(n)}=L olur.
(İspatı L\in\mathbb{R} için yapacağım, L\in\{\pm\infty\}=\{+\infty,-\infty\} ise, ispat hemen hemen aynı olacaktır)
Bir \varepsilon>0 sayısı verilsin, Limit tanımından,
\forall n\geq K için |a_n-L|<\varepsilon olacak şekilde bir K\in\mathbb{N}^+ vardır.
A=\{n\in\mathbb{N}^+:f(n)<K\}=\bigcup_{m=1}^{K-1}f^{-1}(\{m\}) olsun. Hipotezimizden, A sonlu bir kümedir (\emptyset da olabilir).
M=1+\max A olsun (A=\emptyset ise M=1 alalım).
Şimdi \forall \ n\geq M için f(n)\geq K, dolayısıyla |a_{f(n)}-L|<\varepsilon olur.
(Bu koşulu sağlamayan ve \lim a_{f(n)}\neq L şeklinde bir fonksiyon örneğini zaten @eloi bulmuştu)