Crux 1975 Problem 8 - 9 - Yakınsak Diziler

Question

1975 te yayınlanmaya başlanan Crux Dergisinin ilk sayısının 8. ve 9. problemleri:

 

Problem 8: $a_n=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1 +  \cdots +\sqrt{1} }}}$   ($n$ tane kök iç içedir)

biçiminde tanımlanan $(a_n)$ dizisinin yakınsaklığını inceleyiniz ve varsa $\lim a_n$ değerini belirleyiniz.

 

 

Problem 9: $b_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3 +  \cdots +\sqrt{n} }}}$    ($n$ tane kök iç içedir)

biçiminde tanımlanan $(b_n)$ dizisinin yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

$a_1=\sqrt1$ ve $n\ge 1$ icin $a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$ olarak tanimlarsak $a_n$ dizisinin artan ve $2$ ile ustten sinirli oldugunu gosterebiliriz. Bu da bir limit degerinin var oldugunu verir. Bu limit degerine $\ell$ dersek $\ell=\sqrt{1+\ell}$ esitligini verir. Ayrica artan dizinin limiti $a_1=1$ degerinden buyuk olacagindan bu limit degerinin $(\sqrt5+1)/2$ olmasi gerektigini bulabiliriz.

Ayrica $b_n$ artan bir dizi oldugundan ve $b_n\le 2a_n\le 2\ell$ esitsizligi saglandigindan$^{(*)}$ $b_n$ dizisi de yakinsaktir.

(*) $2$ kokler icerisine kuvvetleri olarak gireceginden $b_n\le 2a_n$ saglanir. Ornegin $2a_3=2\sqrt{1+\sqrt{1+{\sqrt1}}}=\sqrt{2^2+\sqrt{2^4+{\sqrt{2^8}}}}$