Saat uzerinde kucuk bir oyun

Question

Saatin uzerinde rastgele bir baslangic sayisi secin misal $10$.

Oyunumuzda uc tane hamle var:

• Hamle $A$ : $12$ den baslayarak saat yonunde elimizdeki sayinin harf sayisi kadar hareket edin. Vardiginiz sayi yeni sayiniz.
  Elimizdeki ornekte yeni sayimiz $2$ olacak
• Hamle $B$ : Elinizdeki sayidan baslayarak saat yonunde elinizdeki sayinin harf sayisi kadar hareket edin. Vardiginiz yeni sayi yeni sayiniz.
  Baslangic sayimiz $10$ icin vardigimiz sayi $12$ olacak. $2$ icin ise $5$ olacak
• Hamle $C$ : Elinizdeki sayidan baslayarak saat yonunun tersinde elinizdeki sayinin harf sayisi kadar hareket edin. Vardiginiz yeni sayi yeni sayiniz.

 Iddiam su ki $ABACA$ hamle serisi sonucunda nereden baslandigindan bagimsiz bir sekilde  elimizdeki sayi $3$ olur.

Bunu gostermek cok da zor degil.

Daha kisa bir hamle serisi yazabilir misiniz ki, nereden baslandigindan bagimsiz bir sekilde hamleler sonucunda ayni sayiyi elde edelim

Answer 1

15 farkli 5'li hamle serisi sonucunda nereden baslandigindan bagimsiz bir sekilde  ayni sayiya olasabiliriz..

 

\begin{array}{cc}
 \text{AABCB} & 5 \\
 \text{AACBC} & 0 \\
 \text{ABAAB} & 5 \\
 \text{ABACA} & 3 \\
 \text{ABBCA} & 2 \\
 \text{ABCAB} & 5 \\
 \text{ABCBA} & 3 \\
 \text{ABCBB} & 8 \\
 \text{ABCBC} & 2 \\
 \text{ABCCB} & 4 \\
 \text{ACAAB} & 5 \\
 \text{ACACA} & 3 \\
 \text{ACBBA} & 5 \\
 \text{BABCB} & 5 \\
 \text{CABCB} & 5 \\
\end{array}

 

$ABCB$ hamle serisi sonucunda nereden baslandigindan bagimsiz bir sekilde  elimizdeki sayi 5 olur. Bundan baska durum yok. Daha az hamle sayisiyla da mumkun degil.