ROTMAN GRUP TEORİ 3.7

Question

G sonlu bir grup olsun. H asal indeksli normal altgrup olsun. H'ın x elemanı öyle olsun ki x'in H'da ki merkezleyicisi x'in G'de ki merkezleyicisinin özaltgrubu olsun. H'ın y elemanı x ile G'de eşlenikse aynı elemanlar H'da eşlenik midir?

Answer 1

$C_G(x)H$ in bir grup olduğu $H$ nin $G$ de normal olmasından gelir. Öte yandan $C_H(x)< C_G(x)$ olması bize

 

$$H<C_G(x)H\leq G$$

yi getirir. $H$ in asal indeksli olması $G=C_G(x)H$ eşitliliğini getirir.

 

Şimdi $y=x^g$ olsun. Yukarıdaki eşitlikten $g=hc$ olarak yazabiliriz $h\in H$ ve $c\in C_G(x)$ olmak üzere.

$$y=x^g=x^{ch}=x^h.$$

 

Yukarıdaki eşitlik $x$ ve $y$ nin $H$ de de eşlenik olduğunu gösteriyor.