Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
465 kez görüntülendi
Merhabalar hocalarım;

Sorum şu:

Türevde sivri nokta türevsizliği açıklanırken sağ ve sol türevi eşit değil denilerek bu durum açıklanır. Ancak bu durum ekstremum noktaları için de geçerli değil midir?

Sivri nokta açıklamasından bağımsız düşündüğümüzde de bir noktada türevlilik o noktadaki sağ ve sol türevin birbirine eşit olması şart koşmaz mı?

Teşekkürler.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından  | 465 kez görüntülendi
sivri noktalardan sonsuz teğet çizilir ve türev yoktur
herhangi bir ekstremum noktada da o noktadan çizilen teğetin eğimi (varsa) 0 yani x eksenine paralel olur. bu bize ne sağlıyor tam olarak?
yazdıkların doğru
@mustafago sivri noktadan kastın nedir? Neye/nelere sivri nokta diyorsun? Mesela $$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2 & , & x>2 \\ \\ 4x-4 & , & x\leq 2\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu için $x=2$ apsisli noktayı, sivri nokta olarak mı kabul ediyorsun?
yanlış bir tabir olabilir, evet bundan bahsediyorum. bu kısmı örneklemek için eklemiştim. asıl sorum ekstremum noktalar için var olan durum.
Yorumda yer alan $f$ fonksiyonu için $x=2$ apsisli noktanın sivri nokta olduğunu söylüyorsun. Genel olarak sivri nokta dendiğinde ne anlıyorsun? Biraz açar mısın?
keskin geçişlerin olduğu ve birden fazla teğet çizmenin mümkün olduğu noktalar.
Senin yaptığın açıklamalar çerçevesinde gidersek, o zaman benim yukarıdaki yorumda verdiğim örnekteki $x=2$ apsisli nokta keskin geçişin olduğu bir nokta oluyor. Doğru mu?
2 önceki yorumumda da bahsettiğim üzere evet hocam. anlamaya mı çalışıyorsunuz yoksa sınanıyor muyum emin olamadım.
b şıkkı :-) @mustafago
Şimdi yukarıdaki yorumda yazdığım fonksiyon için şu limiti hesaplayabilir misin?

$$\lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=?$$
4.

sanırım benim sivri nokta tanımına (!) revizyon gerekecek.

Seni ulaştırmaya çalıştığım yer tam da burasıydı. "Sivri nokta" ve "keskin geçiş" vs gibi terimler matematiksel terimler değil. Böyle söylemler ortaöğretimde sıkça zikrediliyor. Ortaöğretimde sıkça zikredildiği için öğrenciler tanımdan ziyade bu tür söylemleri -muhtemelen daha pratik buldukları için- benimsiyorlar. Bu yüzden benim yorumlarda verdiğim fonksiyon ile karşılaştıklarında "sivri nokta var" veya "keskin geçiş var" demek suretiyle "o noktada türev yoktur" yanıtını vererek yanılıyorlar. Asıl tanıma sadık kalmak yerine bu tür söylemlere daha çok sarılmak kavramın da yanlış anlaşılmasına sebep oluyor ve bu yanlış algıyı kırmak çok da kolay olmuyor. Bu söylemler matematiksel olmadığı için "sivri nokta" ve "keskin geçiş" vs gibi söylemler -yukarıdaki yorumlarda da gördüğün üzere- herkes tarafından aynı şekilde algılanmayacaktır.

 

Oysa tanım gayet açık: $A\subseteq\mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A\cap D(A)$ (yani $a$ hem $f$ fonksiyonunun tanım kümesine ait hem de tanım kümesinin bir yığılma noktası) olmak üzere eğer $$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

limiti bir GERÇEL SAYI olarak mevcut ise bu limit değerine $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi denir ve $f'(a)$ ile gösterilir. Bu tanımı geometrik olarak yorumladığımızda da $f'(a)$ gerçel sayısının fonksiyona $(a,f(a))$ noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla "sivri nokta var mı?" veya "keskin geçiş var mı?" sorularından ziyade $``\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ limiti gerçel sayı olarak mevcut mu?" sorusunun yanıtı araştırılırsa ve bu soru yanıtlanırsa sorun ortadan kalkacaktır. 

yönlendirmeleriniz ve bilgilendirmeniz için teşekkür ederim hocam.

Bu linkteki açıklamalara da göz atabilirsin.

19,734 soru
21,422 cevap
71,981 yorum
315,151 kullanıcı