Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
676 kez görüntülendi

Merhaba,

Elimde döndürülmüş bir elipsin merkez noktası, yarıçapları ve çevreleyen dikdörtgenin noktaları mevcut. Aşağıdaki görseldeki olduğu gibi bu dikdörtgen ile kesişim noktalarının koordinatlarını bulmaya çalışıyorum.

 

Genel elips formülü:

Döndürülmüş elips formülü:

Normalde yerine koyarak kolayca çözebiliriz ama döndürülmüş elips formülünde x'i ya da y'yi bildiğim durumda x ve y formüllerinin açık halini çözemedim.

Bunu bir programda kullanacağım için yerine koyup çözmek yerine x = ... ya da y = ... formatında bir formülü bulmaya çalışıyorum.

Eğer bu noktaların koordinatlarını bulabileceğim başka bir yöntem varsa o da çok yardımcı olur.

 

Çok teşekkürler,

 

 

 

 

<!--[if gte msEquation 12]>x2a2 <![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]-->

 

 

 

 

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 676 kez görüntülendi
Kapalı türev alarak, $y$ nin $x$ in maksimum ve minimum değerlerini bulmayı deneyebilirsin.
$\dfrac{[\cos (t) (x-x_0)+\sin (t) (y-y_0)]^2}{a^2}+\dfrac{[\sin (t) (x-x_0)-\cos (t)
   (y-y_0)]^2}{b^2}=1$ olmasi lazim.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Elipsin kendine has özelliklerinden birini kullanarak yanıtlamaya çalışalım. Odaklardan birinden başlayıp elipsin üzerinde giden bir ışın, o noktadaki teğetten yansıyarak diğer odağa ulaşır. Bu yansıyan ışını aşağıdaki şekilde $GB$ ile gösterdik. Fakat $GB$ yerine, onunla aynı uzunlukta olan ve $AG$ ile aynı doğruda yer alan $GC$'yi kullanmak bize daha fayda sağlayacak. Şimdi $\theta$ kadar döndürülmeden önce $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ile verilmiş şekildeki elips için, $AG + GC = 2a$ olduğunu akılda tutarak şu ilişkiye bakalım:

$$ (2x + 2c \sin(\theta))^2 + (2c \cos(\theta))^2 = (2a)^2 \implies x = - c \sin(\theta) + \sqrt{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}$$

Daha sonra $CGE$ ile $CAD$ üçgenleri arasındaki benzerlikten

$$ \frac{\delta}{2c \cos(\theta)} = \frac{x}{2x+2c \sin(\theta)} \implies \delta = c \cos(\theta) \Big( 1 - \sqrt{\frac{c^2 \sin^2(\theta)}{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}}\Big)$$

Koordinat orijinini elipsin $A$ odağı olarak seçersek eğer, dikdörtgenin elipse teğet geçtiği $G$ noktasının $(x,y)$ koordinatları:

$$ G_x = 2c \cos(\theta) - \delta = c \cos(\theta) \Big( 1 + \sqrt{\frac{c^2 \sin^2(\theta)}{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}}\Big) $$

$$ G_y = 2c \sin(\theta) + x = c \sin(\theta) + \sqrt{c^2 \sin^2(\theta) + b^2} $$ olacaktır. Dikdörtgendeki diğer teğetin koordinatlarını da benzer bir çizimle bulabiliriz tabii.

(145 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Mathematica ile cozum.

$(x0,y0)$ elipsin merkezi, $a,b$ yaricaplar ve $t$ derece cinsinden dondurme acisi olsun.

 

f[x0_, y0_, a_, b_, t_] := 
  ImplicitRegion[((x - x0) Cos[t Degree] + (y - y0) Sin[t Degree])^2/
     a^2 + ((x - x0) Sin[t Degree] - (y - y0) Cos[t Degree])^2/b^2 == 
    1, {x, y}];

cornerPoints = {{-1, -1}, {1, -1}, {1, 1}, {-1, 1}, {-1, -1}};
R1 = f[0, 0, 1, 1, 0];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]

{{x -> -1, y -> 0}, {x -> 0, y -> -1}, {x -> 0, y -> 1}, {x -> 1, 
  y -> 0}}

cornerPoints = {{-3, -4}, {3, -4}, {3, 4}, {-3, 4}, {-3, -4}};
R1 = f[0, 0, 3, 4, 0];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]
{{x -> -3, y -> 0}, {x -> 0, y -> -4}, {x -> 0, y -> 4}, {x -> 3, 
  y -> 0}}

cornerPoints = {{-3, -4}, {3, -4}, {3, 4}, {-3, 4}, {-3, -4}};
R1 = f[3, 6, 2, 4, 15];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]

$\left\{\left\{x\to 3,y\to -\frac{2}{73} \left(4 \sqrt{73 \left(10+3
   \sqrt{3}\right)}-219\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{73} \left(279-18 \sqrt{3}-8 \sqrt{3 \left(74+7
   \sqrt{3}\right)}\right),y\to 4\right\}\right\}$

 

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,057,852 kullanıcı