Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
886 kez görüntülendi

$\mathbb{R^n}$ , $\mathbb R$ üzerine bir vektör uzayı olsun.

$(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n) \in \mathbb{R^n}$ olsun.

$\mathbb{R^n}$' de bir skaler çarpma şöyle tanımlansın:

$<(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n)>$ = $(x_1,x_2,. . . , x_n) \cdot (y_1,y_2,. . . y_n)$ = $x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$

$Tanım$: Eğer bütün elemanlarla skaler çarpımı $0$ olan tek eleman $0$ ise bu skaler çarpmaya non-dejenere  diyelim.

$Soru$: Yukarıda tanımlanan skaler çarpma non-dejeneredir. Neden?

Lisans Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından  | 886 kez görüntülendi

$(x_1, \ldots, x_n)$ vektörü bütün elemanlarla skaler çarpıma girdiğinde sıfır veriyorsa, standard baz elemanları ile skaler çarpıma girdiğinde de sıfır vermeli.

Pek tabii... Çok kolay olmuş.

Ayrıca çarpım Lorentz iç çarpım olarak tanımlansaydı dejenere bir iç çarpım olurdu.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 Diyelim ki değil, o zaman bir $0 \neq (x_1,\dots,x_n) =x \in \mathbb{R^n}$ var öyle ki her $z \in \mathbb{R^n}$ için $<x,z>=0$. 
 $z_1 = (1,0,0,\dots,0) \in \mathbb{R^n}$ alalım.
$<x,z_1> = 0 \implies x_1 = 0'$. Benzer şekilde $k=2, \dots, n$ için $<z,x_k>$ çarpımlarına bakarsak $x_k = 0'$ elde ederiz.
$\implies x= 0$, çelişki.

Yazıda $0 \in  \mathbb{R^n}$ ve $0' \in  \mathbb{R}$, bizim sıfır.

(477 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Eline sağlık @kirmizi hocam

20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,395 kullanıcı