$\mathbb{R^n}$ üzerindeki standart skaler çarpma non-dejenere skaler çarpma mıdır?

Question

$\mathbb{R^n}$ , $\mathbb R$ üzerine bir vektör uzayı olsun.

$(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n) \in \mathbb{R^n}$ olsun.

$\mathbb{R^n}$' de bir skaler çarpma şöyle tanımlansın:

$<(x_1,x_2,. . . , x_n),(y_1,y_2,. . . y_n)>$ = $(x_1,x_2,. . . , x_n) \cdot (y_1,y_2,. . . y_n)$ = $x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$

$Tanım$: Eğer bütün elemanlarla skaler çarpımı $0$ olan tek eleman $0$ ise bu skaler çarpmaya non-dejenere  diyelim.

$Soru$: Yukarıda tanımlanan skaler çarpma non-dejeneredir. Neden?

Comments

$(x_1, \ldots, x_n)$ vektörü bütün elemanlarla skaler çarpıma girdiğinde sıfır veriyorsa, standard baz elemanları ile skaler çarpıma girdiğinde de sıfır vermeli.

---

Pek tabii... Çok kolay olmuş.

---

Ayrıca çarpım Lorentz iç çarpım olarak tanımlansaydı dejenere bir iç çarpım olurdu.

Answer 1

 Diyelim ki değil, o zaman bir $0 \neq (x_1,\dots,x_n) =x \in \mathbb{R^n}$ var öyle ki her $z \in \mathbb{R^n}$ için $<x,z>=0$. 
 $z_1 = (1,0,0,\dots,0) \in \mathbb{R^n}$ alalım.
$<x,z_1> = 0 \implies x_1 = 0'$. Benzer şekilde $k=2, \dots, n$ için $<z,x_k>$ çarpımlarına bakarsak $x_k = 0'$ elde ederiz.
$\implies x= 0$, çelişki.

Yazıda $0 \in  \mathbb{R^n}$ ve $0' \in  \mathbb{R}$, bizim sıfır.

Comments

Eline sağlık @kirmizi hocam