Döndürülmüş elips üzerindeki bir noktanın koordinatları

Question

Merhaba,

Elimde döndürülmüş bir elipsin merkez noktası, yarıçapları ve çevreleyen dikdörtgenin noktaları mevcut. Aşağıdaki görseldeki olduğu gibi bu dikdörtgen ile kesişim noktalarının koordinatlarını bulmaya çalışıyorum.

 

Genel elips formülü:

Döndürülmüş elips formülü:

Normalde yerine koyarak kolayca çözebiliriz ama döndürülmüş elips formülünde x'i ya da y'yi bildiğim durumda x ve y formüllerinin açık halini çözemedim.

Bunu bir programda kullanacağım için yerine koyup çözmek yerine x = ... ya da y = ... formatında bir formülü bulmaya çalışıyorum.

Eğer bu noktaların koordinatlarını bulabileceğim başka bir yöntem varsa o da çok yardımcı olur.

 

Çok teşekkürler,

 

 

 

 

<!--[if gte msEquation 12]>x2a2 <![endif]--><!--[if gte vml 1]> <![endif]-->

 

 

 

 

Comments

Kapalı türev alarak, $y$ nin $x$ in maksimum ve minimum değerlerini bulmayı deneyebilirsin.

---

$\dfrac{[\cos (t) (x-x_0)+\sin (t) (y-y_0)]^2}{a^2}+\dfrac{[\sin (t) (x-x_0)-\cos (t)
   (y-y_0)]^2}{b^2}=1$ olmasi lazim.

Answer 1

Elipsin kendine has özelliklerinden birini kullanarak yanıtlamaya çalışalım. Odaklardan birinden başlayıp elipsin üzerinde giden bir ışın, o noktadaki teğetten yansıyarak diğer odağa ulaşır. Bu yansıyan ışını aşağıdaki şekilde $GB$ ile gösterdik. Fakat $GB$ yerine, onunla aynı uzunlukta olan ve $AG$ ile aynı doğruda yer alan $GC$'yi kullanmak bize daha fayda sağlayacak. Şimdi $\theta$ kadar döndürülmeden önce $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ile verilmiş şekildeki elips için, $AG + GC = 2a$ olduğunu akılda tutarak şu ilişkiye bakalım:

$$ (2x + 2c \sin(\theta))^2 + (2c \cos(\theta))^2 = (2a)^2 \implies x = - c \sin(\theta) + \sqrt{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}$$

Daha sonra $CGE$ ile $CAD$ üçgenleri arasındaki benzerlikten

$$ \frac{\delta}{2c \cos(\theta)} = \frac{x}{2x+2c \sin(\theta)} \implies \delta = c \cos(\theta) \Big( 1 - \sqrt{\frac{c^2 \sin^2(\theta)}{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}}\Big)$$

Koordinat orijinini elipsin $A$ odağı olarak seçersek eğer, dikdörtgenin elipse teğet geçtiği $G$ noktasının $(x,y)$ koordinatları:

$$ G_x = 2c \cos(\theta) - \delta = c \cos(\theta) \Big( 1 + \sqrt{\frac{c^2 \sin^2(\theta)}{c^2 \sin^2(\theta) + b^2}}\Big) $$

$$ G_y = 2c \sin(\theta) + x = c \sin(\theta) + \sqrt{c^2 \sin^2(\theta) + b^2} $$ olacaktır. Dikdörtgendeki diğer teğetin koordinatlarını da benzer bir çizimle bulabiliriz tabii.

Answer 2

Mathematica ile cozum.

$(x0,y0)$ elipsin merkezi, $a,b$ yaricaplar ve $t$ derece cinsinden dondurme acisi olsun.

 

f[x0_, y0_, a_, b_, t_] := 
  ImplicitRegion[((x - x0) Cos[t Degree] + (y - y0) Sin[t Degree])^2/
     a^2 + ((x - x0) Sin[t Degree] - (y - y0) Cos[t Degree])^2/b^2 == 
    1, {x, y}];

cornerPoints = {{-1, -1}, {1, -1}, {1, 1}, {-1, 1}, {-1, -1}};
R1 = f[0, 0, 1, 1, 0];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]

{{x -> -1, y -> 0}, {x -> 0, y -> -1}, {x -> 0, y -> 1}, {x -> 1, 
  y -> 0}}

cornerPoints = {{-3, -4}, {3, -4}, {3, 4}, {-3, 4}, {-3, -4}};
R1 = f[0, 0, 3, 4, 0];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]
{{x -> -3, y -> 0}, {x -> 0, y -> -4}, {x -> 0, y -> 4}, {x -> 3, 
  y -> 0}}

cornerPoints = {{-3, -4}, {3, -4}, {3, 4}, {-3, 4}, {-3, -4}};
R1 = f[3, 6, 2, 4, 15];
R2 = Line[cornerPoints];
pts = Solve[{x, y} ∈ R1 && {x, y} ∈ R2, {x, y}]
Show[Graphics[{Red, 
   R2, {Blue, PointSize[Medium], Point[{x, y} /. pts]}}, 
  Frame -> True], RegionPlot[R1, BoundaryStyle -> Green]]

$\left\{\left\{x\to 3,y\to -\frac{2}{73} \left(4 \sqrt{73 \left(10+3
   \sqrt{3}\right)}-219\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{73} \left(279-18 \sqrt{3}-8 \sqrt{3 \left(74+7
   \sqrt{3}\right)}\right),y\to 4\right\}\right\}$