Farklı düzlemlerdeki iki eğri arasındaki açı

Question

$\alpha(u)=(u,0,g(u))$    ve   $\beta(v)=(0,v,h(v))$  eğrileri ortogonal düzlemlerde bulunuyor. Aynı düzlemde olsalar teğetlerinin skaler çarpımından aradaki açıyı hesaplayabilirim. Fakat böyle birisi xz diğeri yz- düzleminde olduklarında nasıl hesaplarım? Teşekkürler.

Comments

İki eğri arasındaki açıyı tanımlarken, bir kere bu eğrilerin kesişmesi gerekir. Farklı düzlemlerde olup bu iki eğri kesişmiyorsa aralarındaki açıdan da bahsedemeyiz. Eğrilerin kesişim noktası varsa eğer; bu nokta, eğrilerin içinde bulundukları düzlemlerin arakesit doğrusu üzerinde olmalıdır. Bu doğru ile eğrilerin ortak çözümünü yaparak kesişim noktasının koordinatlarını hesaplamayı deneyebiliriz. Eğrilerin denklemleri verilirse, birşeyler denenebilir. Genel olarak farklı düzlemlerdeki eğriler/doğrular kesişmek zorunda olmadığı için bunların arasındaki (olmayan) açının hesabı için genel bir çözüm yöntemi de verilemez.

Answer 1

Yorumda belirttiğim gibi, kesişmeyen eğriler için eğriler arasında bir açı oluşmayacaktır. Fakat soru özelinde verilen $\alpha;(u)=(u,0,g(u))$    ve   $\beta;(v)=(0,v,h(v)) $ eğrileri için biraz daha ilerlemek mümkün olabilir. $\alpha$ eğrisi $x$-$z$ düzleminde ve $\beta$ eğrisi de $y$-$z$ düzlemindedir. Kesişim noktasını bulmak için karşılıklı olarak koordinatlarını eşitlersek $u=v=0$ ve $g(0)=h(0)$ olmalıdır. Eğer $g(0)\neq h(0)$ ise eğriler kesişmeyecektir ve yine iki eğri arasında açı tanımlanamayacaktır. Bu sebeple, $g(0)=h(0)=z_0$ olduğunu varsayalım.

 

Bu durumda eğrilerin kesişim noktası $P(0,0,z_0)$ olup $\alpha$ ve $\beta$ eğrilerinin $P(0,0,z_0)$ noktasındaki teğet vektörleri arasındaki açı (skaler çarpım yardımıyla) hesaplanır.