Question

 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n^2-1)^2}=?$

Serinin toplamını $f(x)=\sin x$ fonksiyonunun Fourier Kosünüs seri açılımı ve Parseval Özdeşliğinden yararlanarak buldum.

Ancak başka bir yolla da bulmak istiyorum. Nasıl bulunabilir? 

 

Comments

Paydayi $(2n-1)^2(2n+1)^2$ seklinde yapip parcali fraksiyon ile bulmayi bi dene bakalim. Evet dedigim yoldan cikiyor. Bunun icin harika bir ispatim var ama bunun icin ayrilan kenar cok kucuk :P

---

Hocam toplamı kaç buldunuz?

---

$\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac12$

---

Dediğiniz yolla çözemedim ancak ben de dediğim yöntemle aynı sonucu bulmuştum.

En azından çözümümün doğruluğunu teyit etmiş oldum. Çok teşekkür ederim.

Answer 1

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(4n^2-1)^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2(2n+1)^2}$ oldugu acik.

 

$\dfrac{1}{(2n-1)^2(2n+1)^2}=\dfrac{A}{(2n-1)}+\dfrac{B}{(2n-1)^2}+\dfrac{C}{(2n+1)}+\dfrac{D}{(2n+1)^2}\implies A=-\dfrac14,\,B=D=C=\dfrac14$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(4n^2-1)^2}=-\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)}+\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}+\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)}+\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}$ olur. $(1)$

 

1. ve 3. serileri birlestirisek

 

$\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}-\dfrac{1}{(2n-1)}+\dfrac{1}{(2n+1)}=\dfrac14\left[-\dfrac11+\dfrac13-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac15+\dfrac17-\cdots\right]=-\dfrac14$ (teleskopik seri oldugundan)

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$ oldugu surada gosterilmis.

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}=\dfrac14\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac14\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{\pi^2}{24}$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}$ oldugu acik. $(2)$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}=\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{\pi^2}{24}=\dfrac{\pi^2}{8}$

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\cdots=-\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\cdots=-1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}=-1+\dfrac{\pi^2}{8}$

 

Bu degerleri $(1)$ de yerine koyarsak,

 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(4n^2-1)^2}=-\dfrac14+\dfrac14\dfrac{\pi^2}{8}+\dfrac14\left(-1+\dfrac{\pi^2}{8}\right)=\dfrac{\pi^2}{16}-\dfrac12$

 

__________________________________________________________

 

$(2)$ esitligi surdan daha acik gorulebilir..

 

$\left[\begin{align}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=&\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots\\\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}=&\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{6^2}+\cdots\\\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)^2}=&\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+\cdots\end{align}\right]$

Comments

Çok teşekkür ederim hocam.