Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
762 kez görüntülendi
Yarıçapları $R$ ve $r=\frac34 R$ olan, birbirine dik iki çember veriliyor. Bu çemberlerin ortak teğetleri ile kuvvet eksenlerinin meydana getirdiği üçgenin alanını $R$ cinsinden hesaplayınız.

1971 yılı İTÜ Giriş Sınavı sorusu.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 762 kez görüntülendi
"kuvvet ekseninin" daha iyi olabilir. Sorunun orijinal şeklini yazdım.
Hocam cemberlerin dik olmasi ve kuvvet ekseni ne demek ?

kuvvet ekseninin cemberlerin merkezini birlestiren dogru oldugunu tahmin ediyorum, cemberlerin dik olmasi ile teget olmasi ayni sey diye dusunuyorum ama emin olmak istedim

gerci boyle olursa ucgen nerede bilemedim
Çemberlerin dik olması: kesişiyor ve kesişme noktasındaki teğetlerinin birbirine dik olması.

Kuvvet ekseni: Herhangi iki çembere göre kuvvetleri eşit olan noktaların oluşturduğu doğru.

(Noktanın çembere göre kuvveti: bir sayı; tanımını bir yerde duymuşsundur, kolayca bulabilirsin.)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

    (Tanımından kolayca görüldüğü gibi) Kuvvet ekseni çemberlerin kesişme noktalarından , $ P_1P_2 $ nin orta noktasından geçer ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya dikdir.


    Şekildeki $EC_1C_2$ üçgeninin alanı soruluyor.
    $AO_1O_2$ dik üçgeninde  $|O_1O_2|=\frac54R$ bulunur.

$O_2$ den $\overline{O_1P_1}$ e çizilen dikmenin ayağına $B$ diyelim.
    $O_1BO_2$ dik üçgeninde, $ |BO_1|=\frac14R $ olup,$|BO_2|=\frac{\sqrt6}{2}R$ bulunur.

$C_1$ den $\overline{O_1P_1}$ e çizilen paralel $\overline{O_1O_2}$ yi $D$ noktasında kessin.

$C_1,\ \overline{P_1P_2}$ nin orta noktası olduğundan, $|C_1D|=\frac78R$ olur.
    $DEC_1 \sim O_1O_2B $ benzerliğinden, $ \frac{|DC_1|}{|O_1B|}=\frac{|EC_1}{|BO_2|} $ olur ve $|EC_1|=\frac78\frac41 \frac{\sqrt6}{2}R=\frac{7\sqrt{6}}{4}R $ bulunur. 
    $ EC_1F\sim O_2O_1B $ benzerliğinde, benzerlik oranı $ \frac{|EC_1|}{|O_1O_2|}=\frac{\frac{7\sqrt{6}}{4}R}{\frac54R}=\frac{7\sqrt{6}}{5} $ olur ve 
\begin{align*}
        \textrm{Alan}(EC_1C_2)&=2\times \textrm{Alan}(EC_1F)\\&=2\cdot\left(\frac{7\sqrt{6}}{5} \right)^2\cdot \textrm{Alan}(O_1O_2B)\\&=2\cdot \frac{294}{25}\cdot \frac12\cdot\left(\frac14R\right)\left( \frac{\sqrt6}2R\right) \\&=\frac{147\sqrt6}{100}R^2
\end{align*}
     bulunur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,198 kullanıcı