Oldukça sert ve çetin bir soru

Question

1.adım:bir kenarı 1 birim olan bir kare çizelimve bu karenin içine çizebileceğimiz en büyük daireyi çizelim.

2.adım: 1.adımdaki dairenin içine çizebileceğimiz en büyük düzgün beşgeni çizelim ve düzgün beşgenin içine çizebileceğimiz en büyük daireyi çizelim.

3.adım: 2.adımda çizdiğimiz dairenin içine çizebileceğimiz en büyük düzgün altıgeni çizelim ve düzgün altıgenin içine çizebileceğimiz en büyük daireyi çizelim.

.

.

.

n.adım: (n-1). adımda çizdiğimiz dairenin içine çizebileceğimiz en büyük düzgün (n+3)geni çizelim ve düzgün (n+3)genin içine çizebileceğimiz en büyük daireyi çizelim.

.

.

.

100.adım: 99.adımda çizdiğimiz dairenin içine çizebileceğimiz en büyük düzgün yüzüçgeni çizelim ve düzgün yüzüçgenin içine çizebileceğimiz en büyük daireyi çizelim.

 

en son çizdiğimiz dairenin alanıyla düzgün yüzüçgenin alanı oranı kaçtır?

Answer 1

Alanların oranı sorulduğundan uzunlukların bir önemi yoktur, yalnızca bir 103-genin içine çizebileceğimiz en büyük çembere odaklansak yeter. Çemberin yarıçapını 1 kabul edelim.

Çemberin merkeziyle 103-genin köşelerini birleştirirsek 103 tane ikizkenar üçgen elde ederiz. Her birinde tepeden kenar orta dikme indirirsek 206 tane dik üçgen elde ederiz. Bu dik üçgenlerin her birinin bir kenarı 1 birim (çembere teğet olan köşe) ve her üçgenin içinde 1/206'lık bir daire dilimi var. Bu ikisinin oranını bulmak bize yetecek çünkü iki tarafı da 206 ile çarpacağız.

Üçgenin alanı : $\frac{1}{2}\tan(\frac{2\pi}{206})$

Daire diliminin alanı : $\frac{\pi}{206}$

Bunların oranı cebirsel manipülasyon ile hesaplanabilir mi bilmiyorum. Hesap makinesi 1.0003102170635309906984917802700908394632318694368469248537787208... diyor.