Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulunuz

Question

Aşağıdaki $ABCD$ dikdörtgeni 4 küçük dikdörtgen ve (ortadaki) kareye bölünmüştür.

Her bir dikdörtgenin ve karenin alanı içinde yazılan sayıya eşittir Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulunuz.

(Bir internet sitesinde sorulmuş, güzel bir soru)

Comments

Doğan hocam hayırlı aksamlar

İlk önce sağ üstteki kareden başladım

Karenin alanı $a^2$ ise karesi $a^2=15$ ise bu durumda $a=\sqrt{15}$ veya $a=-\sqrt{15}$ olur alan - olamayacağı için sağ üstteki karenin bir uzunlugu $\sqrt{15}$ olur

Sol üstteki dik dortgene bakarsak $a.b=14$ ise tek bi durumda düşünebiliriz kısa kenar $2$ uzun kenar ise $7$ dersek ve karenin karenin bir uzunluğunu bulmuş olduk sonuçta bir karenin tüm kenarları eşittir

Yani $(2+\sqrt{15})^2$ bir karenin kenarı $a$ ise alanı $a^2$ den dolayı

$2^2+4\sqrt{15}+15$ olur ifadeyi düzenlersek

$19+4\sqrt{15}$ olur hocam hata yapmış olabilirim hocam benim yorumum budur hatamız varsa affola:)

---

Merkezdeki hariç, diğerlerinin, sadece, dikdörtgen olduğu belirtilmiş.

Onların kare olduğunu kabul edemeyiz.

---

Cevap $10\times\frac{59}{10}$ cikiyor.

---

@OkkesDulgerci kare miymiş yani ABCD? Hah.

---

@Ozgur, hayir dikdortgen cikiyor. $|AB|=10$  ve  $|AD|=\frac{59}{10}=5.9$

---

Benim kafam neredeydi acaba, $10\times \frac {59}{10}$'u tek bir kenarın uzunluğu gibi algıladım.

---

Çözümünüzü yazabilirseniz iyi olur. Belki ilginç çözümler olabilir.

---

Cozumum tam kabul gormeyebilir, denklemleri kurduktan sonra Mathematica'ya cozdurdum lineer olmadiklari icin :)

---

Denklemin nasıl kurulduğu asıl önemli adım.

Uzanca bir çözümü var, ben sanırım farklı bir çözüm yazacağım.

Answer 1

4 bilinmeyen oldugu icin 4 denklem gerekli.

 

\begin{align} t (x+1)=&12\\x (z+1)=&14\\z(y+1) =&15\\y(t+1) =&17\end{align}

Mathematica ile cozum..

Solve[{t (x + 1) == 12, x (z + 1) == 14, z (y + 1) == 15, y (t + 1) == 17}, {x, y, z, t}, PositiveReals]
{x -> 4, y -> 5, z -> 5/2, t -> 12/5}

$\left\{x\to 4,y\to 5,z\to \frac{5}{2},t\to \frac{12}{5}\right\}$

 

Burdan da $|AB|=10 $ ve $ |AD|=\frac{59}{10}=5.9$ cikar.

Comments

Beni soruyu gördüğüm sitede daha basit ama çok uzun bir çözüm var.

$t=\frac{12}{x+1}\rightarrow z+1=\frac{14}x\rightarrow\cdots$ şeklinde her bir dikdörtgenin kenarı $ x$ cinsinden bulunup daha sonra büyük dikdörtgenin alanın 59 oluşundan, 2.derece bir denkem elde edilip $x$ bulunuyor.

Answer 2

.

Yatay (noktalı) çizgileri çizelim. Ortadaki yeni dikdörtgenlerin alanları şekildeki gibi olur. Ortadaki dikdörtgenlerin  (kareyi soldaki dikdörtgene ekleyelim) alanlarının oranı ile  altta kalan alanları oranı eşit olur ve $\frac a{12}=\frac b{17-b}$ olur.

Ortadaki (bu kez kareyi sağdaki dikdörtgene ekleyelim) dikdörtgenlerin alanları ve üstteki dikdörtgenlerin alanları arasında da: $\frac{a-1}{15-a}=\frac{b+1}{15}$ eşitliği vardır.

Birinci denklemden, $a=\frac{12b}{17-b}$ olarak çözülüp, diğer denklemde $a$ yerine yazılırsa:

$9b^2-11b-170=0$ denklemi elde edilir. Bu denklemin biricik pozitif çözümü $b=5$ dir. Sonra $a=5$ ve dikdörtgenin tabanı $10$, yüksekliği de $\frac{59}{10}$ olur.