Sürekli bir $f$ için $f(ax)=f(x)$ eşitliği sağanıyorsa

Question

$f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ bir sürekli fonksiyon olmak üzere, bir $a>1$ gerçel sayısı için $\mathbb R_+$ üzerinde $$f(ax)=f(x)$$ eşitliği sağlanıyorsa

(1) $f$ fonksiyonu hakkında ne diyebiliriz?
(2) $a$ ve tanım kümesi ile ne kadar oynayabiliriz.

Comments

Sabit fonksiyon oldugunu soyleyebiliriz mesela :)

---

Okkes sana guveniyorum, o yuzden bir yerde hata yapmis olmaliyim ama nerede:

$a$'yi sabitleyelim. $g(1) = g(a)$ olacak sekilde $[1,a]$ araliginda surekli bir fonksiyon alalim. Boyle sonsuz sayida fonksiyon bulabilirim. Simdi soyle araliklar tanimlayalim:

$$\vdots \\I_{-1} = [1/a, 1] \\ I_0 = [1,a] \\ I_1 = [a,a^2] \\ I_2 = [a^2, a^3] \\ \vdots$$

$f$ fonksiyonunu da

$$f(x) = g(a^{-n}x)$$

(eger $x \in I_n$ ise) formulu ile tanimlayalim. Mesela, $x \in I_1$ ise, $x \in [a, a^2]$ olacak. Bu durumda $a^{-1}x \in [1,a]$ olacak ve $f(x) = g(a^{-1}x)$ olarak tanimlayacagiz. Bu durumda $f$'nin surekli oldugunu gormek kolay. Ote yandan, $x \in I_n$ ise $ax \in I^{n+1}$ oldugu icin $$f(ax) = g(a^{-n-1}ax) = g(a^{-n}x) = f(x)$$ ozelligi saglanir.

 

Not: Daha genel olarak $g(1) = g(a)$ sarti yerine bir $x_0$ icin $g(x_0) = g(ax_0)$ sartini da koyabilirim. 

Not 2: a ve 1/a icin ayni sey gecerli, dolayisiyla $a>0$ almak sorun cikarmaz.

---

Aslında sıfırı katıp sadece sıfırda sağdan sürekli diyecektim ama demedim :)

---

Sadece sıfıra sağdan giderken limiti gerçel sayı olsun koşulu da sabitliği kolay veriyor.

---

$g$, periyodu $\ln a$ olan ($g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) sürekli bir fonksiyon ve $f=g\circ\ln$ olsun:

$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ sürekli olur ve:

$\forall x>0$ için $f(ax)=g(\ln(ax))=g(\ln a+\ln x)=g(\ln x)=f(x)$

---

Doğan Hoca tek satırda anlatmış anlatmak isteyip anlatamadığımı.