7 ile bölünebilme kuralını bulalim.

Question

7 ile bolunebilme kuralını bulunuz. Ispat yaparsanız sevinirim.(sayilar teorisi)

Comments

Siz ne denediniz/düşündünüz?

Not: bunun cevabını basit bir internet araması ile buabilirsiniz.

Answer 1

$0\leq i \leq n$, her $a_i$ bir rakam olmak üzere, basamak adedi üç ile tam bölünen bir $A$ sayısı için,

$A=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+a_{n-2}10^{n-2}+...a_210^2+a_110+a_0\equiv X mod(7)$ sonucu arıyoruz.

$a_n(7+3)^n+a_{n-1}(7+3)^{n-1}+a_{n-2}(7+3)^{n-2}+...+a_2(7+3)^2+a_1(7+3)+a_0\equiv X mod(7)$

Parantezlerin açılımında son terim hariç diğer her terimin $7$ ile bölündüğüne dikkat edilirse,

$a_n3^n+a_{n-1}3^{n-1}+a_{n-2}3^{n-2}+...+a_53^5+a_43^4+a_33^3+a_23^2+a_13+a_0\equiv X mod(7)$ olarak ve

$3^{n-2}(a_n3^2+a_{n-1}3+a_{n-2})+...+3^3(2a_5+3a_4+a_3)+(a_23^2+a_13+a_0)\equiv X mod(7)$  şeklinde yazabiliriz.Sağdan sola doğru her üç terimde $3^{i-2}(a_i3^2+a_{i-1}3+a_{i-2})$ şeklinde bir ifade bulunduğuna dikkat edelim. Bu ifadelerde bulunan $3^{i-2}$ çarpanlarının $mod(7)$ deki denklikleri $i-2$ tek sayı iken $-1$, çift iken $1$ olduğunu düşünürsek
$3^{i-2}(a_i3^2+a_{i-1}3+a_{i-2})\equiv (-1)^{i-2}(2a_i+3a_{i-1}+a_{i-2}) mod(7)$   olacak ve,

$(-1)^{n-2}(2a_n+3a_{n-1}+a_{n-2})+(-1)^{n-5}(2a_{n-3}+3a_{n-4}+a_{n-4})+...+(-1)^3(2a_5+3a_4+a_3)+(-1)^0(2a_2+3a_1+a_0)\equiv X mod(7)$   

Dolayısıyla $A$ sayısının  $7$ ilebölümünden elde edilen kalan,

$X\equiv [(-1)^{n-2}(2a_n+3a_{n-1}+a_{n-2})+...+(2a_8+3a_7+a_6)-(2a_5+3a_4+a_3)+(2a_2+3a_1+a_0)] mod(7)$ dir.

Bunu bir iki örnekle  açıklayalım.

ÖRNEK1: $392$ sayısının $7$ ile tam bölünüp bölünmediğine bakalım.  Bunu doğrudan bölme işlemi yaparak da kontrol edebiliriz, fakat biz kuralı uygulayalım.

$2.3+3.9+2=35\equiv 0mod(7)$ olduğunu görebiliriz.

ÖRNEK2: $453628$ sayısının $7$ ile tam bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Bunun için sayıyı sağdan sola doğru üçerli gruplara ayıralım. İlk üçlüyü $+1$ ile ikinci üçlüyü $-1$ ile sonuçlarını toplayalım. Toplamın $7$ ile bölünüp bölünmediğine bakalım.

$-(2.4+3.5+3)+(2.6+3.2+8)=-26+26=0$ olduğundan verilen sayı $7$'ye tam bölünür.

ÖRNEK3: $32568014632$ sayısını kontrol edelim.

$-(3.3+2)+(2.5+3.6+8)-(2.0+3.1+4)+(2.6+3.3+2)=-11+36-7+23=41$ olup $7$ ile tam bölünmez.