$\{1,2,\cdots,n\}$ kumesinde $p$ asal sayisina bolunmeyen sayilarin sayisi

Question

$\{1,2,\cdots,n\}$ kumesinde $p$ asal sayisina bolunmeyen $n-\lfloor \frac np \rfloor$ sayi oldugunu ispatlayiniz.

Comments

Sectigin kategori icin begendim soruyu. Ortaokul ogrencisi biri cevaplayabilir, ugrasirken de zevk alir hem de.

---

Bu iki soru aslinda cok kullaniliyor. Ben daha da kullaniyorum.

---

Benden duymuş olmayın ama burada iki değil bir soru var.

---

Ayni anda sorulmus iki soru uzerine.. (basliklar farkli)

---

3 tip matematikci vardir: Sayi saymayi bilenler, sayi saymayi bilmeyenler.

Answer 1

$n$ herhangi bir pozitif doğal sayı, $p$ bir asal sayı olsun. 

1)    $p>n$ ise $\left[\frac np\right]=0$ olacağından çok açıktır ki $n$'e kadar olan her sayı $p$ asalına tam bölünmez. Yani: $n-\left[\frac np\right]=n-0=n$ dir.

2) $p=n$ ise  $\left[\frac np\right]=1$ olur ve  son terim hariç hiç bir terim $p$ asalına tam bölünmez. $n-\left[\frac np\right]=n-1$ dir.

3) $p<n$ ise $1,2,3,...,n$ dizisinde $p$ asalı ile tam bölünenlerin sayısı $p$' nin tam katlarının sayısı kadardır. Yani :$\left[\frac np\right]$ kadardır. Eh bölünmeyenlerin sayısı da diziden bölünenlerin sayısının atılması ile bulunacağından: $n-\left[\frac np\right]$ olacaktır.