Topolojilerin kıyaslanması

Question

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\subseteq 2^X$ olmak üzere
$$(\mathcal{B}_1, \ \tau_1\text{ için baz})(\mathcal{B}_2, \ \tau_2 \text{ için baz})$$ $$\Rightarrow$$ $$\tau_1\subseteq\tau_2\Leftrightarrow (\forall B_1\in\mathcal{B}_1)[x\in B_1\Rightarrow (\exists B_2\in\mathcal{B}_2)(x\in B_2\subseteq B_1)]$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $\mathcal{B}_1, \ \tau_1$ için baz; $\mathcal{B}_2, \ \tau_2$ için baz;  $\tau_1\subseteq\tau_2$; $B_1\in\mathcal{B}_1$  ve  $x\in B_1$  olsun.
$\left.\begin{array}{r} x\in B_1\in\mathcal{B}_1 \\ \\ \mathcal{B}_1, \tau_1 \text{ için baz} \Rightarrow \mathcal{B}_1\subseteq \tau_1 \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} x\in B_1\in\tau_1 \\ \mbox{} \\ \tau_1\subseteq \tau_2\end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow x\in B_1\in\tau_2\\ \\ \mathcal{B}_2, \tau_2 \text{ için baz}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists B_2\in \mathcal{B}_2)(x\in B_2\subseteq B_1).$

 

$(\Leftarrow):$ $\mathcal{B}_1, \ \tau_1$ için baz; $\mathcal{B}_2, \ \tau_2$ için baz ve $x\in A\in\tau_1$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} x\in A\in\tau_1 \\ \\ \mathcal{B}_1, \tau_1 \text{ için baz} \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{r} (\exists B_1\in\mathcal{B}_1)(x\in B_1\subseteq A) \\ \mbox{} \\ \text{Hipotez}\end{array}\right\}\Rightarrow \!\!\!\!\!\end{array}$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists B_2\in\mathcal{B}_2)(x\in B_2\subseteq B_1\subseteq A) \\ \\ \mathcal{A}:=\{B_2|(\forall x\in A)(\exists B_2\in\mathcal{B}_2)(x\in B_2\subseteq A)\}\\ \\ \mathcal{B}_2, \tau_2 \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}_2\subseteq\tau_2\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \tau_2)(A=\cup\mathcal{A})$

 

$\Rightarrow A\in\tau_2.$