$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$``(X,\tau) \text{ regüler değil}\Rightarrow CO(X)=\theta O(X)"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

$CO(X):=\{A\subseteq X|(A\in\tau)(A^c\in\tau)\}$

$\theta\text{-int}(A):=\cup\{U|(cl(U)\subseteq A)(U\in\tau)\}$

$\theta\text{-int}(A)=\{x|(\exists U\in\mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)\}$

$A, \theta\text{-açık}:\Leftrightarrow A=\theta\text{-int}(A)$

$\theta O(X):=\{A\subseteq X|A, \theta\text{-açık}\}$

Comments

Regüler olmayan birçok topolojik uzay için yaptığımız çalışmalarda önermenin doğruluğunu destekler sonuçlar elde ettik. Ancak şu ana kadar doğru olduğuna dair bir kanıt veremedik.

---

Reguler demek her kapalı küme ve her nokta açık kümelerle ayrılabilir miydi?

---

Regüler uzay demek her kapalı küme ve bu kapalı kümeye ait olmayan her nokta açık kümelerle ayrılabilir demek. Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz:

$(X,\tau), \text{ regüler}:\Leftrightarrow (\forall F\in \mathcal{C}(X,\tau))[x\notin F\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(F))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)]$

$\mathcal{C}(X,\tau):=\{A\subseteq X|\setminus A\in\tau\}$

$\mathcal{U}(F):=\{U|(F\subseteq U)(U\in \tau)\}$

$\mathcal{U}(x):=\{U|(x\in U)(U\in \tau\}$

Uzayın regüler olmadığı durumlarda $$\theta O(X)=CO(X)$$ olduğunu göstermek istiyoruz. Bunun için de $$CO(X)\subseteq\theta O(X)$$ ve $$\theta O(X)\subseteq CO(X)$$ olduğunu göstermemiz gerekiyor. $CO(X)\subseteq\theta O(X)$ olduğunu göstermek kolay. Şöyle ki:

$A\in CO(X)$ olsun. Amacımız $$A\in\theta O(X)$$ olduğunu yani $$A=\theta\text{-}int(A)$$ olduğunu yani $$(\forall x\in A)(\exists U\in\mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek.

$x\in A\in CO(X)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in A\in CO(X)\Rightarrow (A\in\mathcal{U}(x))(cl(A)=A\subseteq A) \\ \\U:=A\end{array}\right\}\Rightarrow (U\in \mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)\Rightarrow x\in\theta\text{-}int(A)$

O halde $$A\subseteq \theta\text{-}int(A)\ldots (1)$$

Öte yandan $\theta$-iç tanımından da hemen görüleceği üzere $$\theta\text{-}int(A)\subseteq A\ldots (2)$$ kapsaması her zaman geçerlidir.

$(1),(2)\Rightarrow A=\theta\text{-}int(A)\Rightarrow A\in\theta O(X).$

---

$\theta-\rm{int}(A)$ kümesi kapanışı $A$'nın içinde yer alan en büyük açık küme, anladığım kadarıyla. Dolayısıyla $\theta$-açık kümeler her zaman hem kapalı hem açık.

Eğer uzay reguler değilse bunun tersi de doğru (mu)? Bunu göstermeye çalışıyoruz. (Soruyu anlamaya çalışıyorum).

---

Ya da başka bir deyişle eğer kapaçık olup $\theta$-açık olmayan bir küme varsa bütün uzay regulerdir. Bunu göstermek istiyoruz. Bu bana sanki doğru değil gibi geliyor.

Diyelim bu doğru olsun. $X$ uzayında kapaçık olup $\theta$-açık olmayan bir $A$ altkümesi alalım. Ve öte yandan $Y$ uzayı reguler olmayan bir uzay olsun. Bu durumda $X \cup Y$ uzayı reguler olmaz ama $A$ hala hem kapaçık hem de $\theta$-açık değil?

---

Kapaçık kümeler (yorumda da ifade ettiğim üzere) uzayın regüler olup olmamasına bağlı olmaksızın $\theta$-açık kümelerdir. Yani kapaçık olup $\theta$-açık olmayan küme yoktur.

---

Ay ben yanlış anlamışım her şeyi. Tamam.

---

"$\theta-\rm{int}(A)$ kümesi $A$'nın kapanışı $A$'da kalan en büyük açık altkümesidir"

Bu doğru mu?

---

Aaa nerede hata yaptığımı anladım. Ok.

---

Peki yine de en başta söylediğim yöntem çalışmaz mı?

Göstermek istediğim şey: eğer $\theta$-açık olup kapaçık olmayan bir küme varsa, o zaman uzay regulerdir. (Başlıktaki ifadenin senin yorumunla birleştirilmiş contrapositive'i).

Iddiam: Bu önerme yanlış.

Kanıt: Diyelim bu önerme doğru olsun. Böyle bir uzay $X$ uzayı alalım. Bu uzaydan $\theta$-açık olup, kapaçık olmayan bir $A$ kümesi alalım. Öte yandan reguler olmayan bir $Y$ uzayı alalım. O zaman $X \cup Y$ reguler olmaz ama $A$ hala aynı özelliği taşır?

---

$X\cup Y$ kümesi üzerinde hangi topolojiyi alacağız? Aşağıdaki linkte bir yöntem var. Bu yöntemle elde edilen topolojiyi mi alacağız? https://matkafasi.com/108289/iki-topolojik-uzaydan-yeni-bir-topolojik-uzay-olusturmak?show=108289#q108289

---

Evet. Ben burada $X$'i biraz adalar topluluğu gibi düşündüm. Yeni bir ada $Y$ ekleyince yeni bir adalar topluluğu elde ediyorum. Iki uzay ayrık oldukları için ikisinin topolojilerinin birleşimiyle gerilen topoloji, Doğan Hocanın verdiği topoloji (dimi?)

$X$'te $\theta$-açık olup kapaçık olmayan bir kümenin varlığı, $Y$'nin reguleritesini etkileyecek güçte değil. Böyle bir kümenin varlığı yerelde etkili sadece.