Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
94 kez görüntülendi
$CO(X):=\{A\subseteq X|(A\in\tau)(A^c\in\tau)\}$

$\theta\text{-int}(A):=\cup\{U|(cl(U)\subseteq A)(U\in\tau)\}$

$\theta\text{-int}(A)=\{x|(\exists U\in\mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)\}$

$A, \theta\text{-açık}:\Leftrightarrow A=\theta\text{-int}(A)$

$\theta O(X):=\{A\subseteq X|A, \theta\text{-açık}\}$
Akademik Matematik kategorisinde (10.1k puan) tarafından  | 94 kez görüntülendi
Regüler olmayan birçok topolojik uzay için yaptığımız çalışmalarda önermenin doğruluğunu destekler sonuçlar elde ettik. Ancak şu ana kadar doğru olduğuna dair bir kanıt veremedik.
Reguler demek her kapalı küme ve her nokta açık kümelerle ayrılabilir miydi?
Regüler uzay demek her kapalı küme ve bu kapalı kümeye ait olmayan her nokta açık kümelerle ayrılabilir demek. Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz:

$(X,\tau), \text{ regüler}:\Leftrightarrow (\forall F\in \mathcal{C}(X,\tau))[x\notin F\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(F))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)]$

$\mathcal{C}(X,\tau):=\{A\subseteq X|\setminus A\in\tau\}$

$\mathcal{U}(F):=\{U|(F\subseteq U)(U\in \tau)\}$

$\mathcal{U}(x):=\{U|(x\in U)(U\in \tau\}$

Uzayın regüler olmadığı durumlarda $$\theta O(X)=CO(X)$$ olduğunu göstermek istiyoruz. Bunun için de $$CO(X)\subseteq\theta O(X)$$ ve $$\theta O(X)\subseteq CO(X)$$ olduğunu göstermemiz gerekiyor. $CO(X)\subseteq\theta O(X)$ olduğunu göstermek kolay. Şöyle ki:

$A\in CO(X)$ olsun. Amacımız $$A\in\theta O(X)$$ olduğunu yani $$A=\theta\text{-}int(A)$$ olduğunu yani $$(\forall x\in A)(\exists U\in\mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermek.

$x\in A\in CO(X)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in A\in CO(X)\Rightarrow (A\in\mathcal{U}(x))(cl(A)=A\subseteq A) \\ \\U:=A\end{array}\right\}\Rightarrow (U\in \mathcal{U}(x))(cl(U)\subseteq A)\Rightarrow x\in\theta\text{-}int(A)$

O halde $$A\subseteq \theta\text{-}int(A)\ldots (1)$$

Öte yandan $\theta$-iç tanımından da hemen görüleceği üzere $$\theta\text{-}int(A)\subseteq A\ldots (2)$$ kapsaması her zaman geçerlidir.

$(1),(2)\Rightarrow A=\theta\text{-}int(A)\Rightarrow A\in\theta O(X).$
$\theta-\rm{int}(A)$ kümesi kapanışı $A$'nın içinde yer alan en büyük açık küme, anladığım kadarıyla. Dolayısıyla $\theta$-açık kümeler her zaman hem kapalı hem açık.

Eğer uzay reguler değilse bunun tersi de doğru (mu)? Bunu göstermeye çalışıyoruz. (Soruyu anlamaya çalışıyorum).
Ya da başka bir deyişle eğer kapaçık olup $\theta$-açık olmayan bir küme varsa bütün uzay regulerdir. Bunu göstermek istiyoruz. Bu bana sanki doğru değil gibi geliyor.

Diyelim bu doğru olsun. $X$ uzayında kapaçık olup $\theta$-açık olmayan bir $A$ altkümesi alalım. Ve öte yandan $Y$ uzayı reguler olmayan bir uzay olsun. Bu durumda $X \cup Y$ uzayı reguler olmaz ama $A$ hala hem kapaçık hem de $\theta$-açık değil?
Kapaçık kümeler (yorumda da ifade ettiğim üzere) uzayın regüler olup olmamasına bağlı olmaksızın $\theta$-açık kümelerdir. Yani kapaçık olup $\theta$-açık olmayan küme yoktur.
Ay ben yanlış anlamışım her şeyi. Tamam.
"$\theta-\rm{int}(A)$ kümesi $A$'nın kapanışı $A$'da kalan en büyük açık altkümesidir"

Bu doğru mu?
Aaa nerede hata yaptığımı anladım. Ok.
Peki yine de en başta söylediğim yöntem çalışmaz mı?

Göstermek istediğim şey: eğer $\theta$-açık olup kapaçık olmayan bir küme varsa, o zaman uzay regulerdir. (Başlıktaki ifadenin senin yorumunla birleştirilmiş contrapositive'i).

Iddiam: Bu önerme yanlış.

Kanıt: Diyelim bu önerme doğru olsun. Böyle bir uzay $X$ uzayı alalım. Bu uzaydan $\theta$-açık olup, kapaçık olmayan bir $A$ kümesi alalım. Öte yandan reguler olmayan bir $Y$ uzayı alalım. O zaman $X \cup Y$ reguler olmaz ama $A$ hala aynı özelliği taşır?
$X\cup Y$ kümesi üzerinde hangi topolojiyi alacağız? Aşağıdaki linkte bir yöntem var. Bu yöntemle elde edilen topolojiyi mi alacağız? https://matkafasi.com/108289/iki-topolojik-uzaydan-yeni-bir-topolojik-uzay-olusturmak?show=108289#q108289
Evet. Ben burada $X$'i biraz adalar topluluğu gibi düşündüm. Yeni bir ada $Y$ ekleyince yeni bir adalar topluluğu elde ediyorum. Iki uzay ayrık oldukları için ikisinin topolojilerinin birleşimiyle gerilen topoloji, Doğan Hocanın verdiği topoloji (dimi?)

$X$'te $\theta$-açık olup kapaçık olmayan bir kümenin varlığı, $Y$'nin reguleritesini etkileyecek güçte değil. Böyle bir kümenin varlığı yerelde etkili sadece.
18,839 soru
20,943 cevap
68,921 yorum
21,651 kullanıcı