Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
515 kez görüntülendi
$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ devirli grup mudur ?

şimdi şöyle düşündüm $\mathbb{Z}$ yi üreten 1 ve -1 dir.Acaba bu ikisi grubu üretebilir mi diye düşündüm.

(1,1) + (1,1) =(2,2) , (1,1)leri toplayarak (1,2) yi üretemem.

Aynı keza (1,0) üreteç olabilir mi diye düşündüğümde.Yine olmuyor tüm $\mathbb{Z}$ üretilmiyor.

$\mathbb{Z}$ devirli değildir diyorum ama ispat eksik gibi sanki.
Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından  | 515 kez görüntülendi
$(a,b)$ üretec olsun. Bununla tüm elemanları üretebilmeliyiz.

Bu üreteç ile $(a+1,b)$ ve $(a,b+1)$ üretilebilir mi?
aklımda bir kaç şey düşündüm , cevaba onları yazmak isterim .
cevaba yazdıklarımı sizin verdiğiniz $(a+1,b)$ için uygularsam bu sefer $a= a+1$ oluyor buda çelişki

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
varsayalım ,a ve b sıfırdan farklı ve $(a,b)$ üreteç olsun o halde bu grubun elemanı olan $(0,b)$yi üretir.

$(0,b)= n . (a,b) = (na,nb)$

$na = 0$ ve $nb=b$ elde ediyoruz. $n =1$ ise $a = 0$  çıkıyor . Çelişki.

Grup devirli değildir.
(303 puan) tarafından 
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,998,758 kullanıcı