Question

$\mathbb{N}$ kümesi sonsuz bir kümedir. İspatlayınız.

Comments

Sonsuz küme ne demek?

---

Ozgur hocam cevaba bir şeyler ekledim. Aslında bu soru şöyle de sorulabilirdi değil mi?

$\mathbb{N}$ kümesi numaralanabilirdir.Gösteriniz.

$\mathbb{N}$ kümesi sayılabilirdir.Gösteriniz.

---

Numarılandırılabilir/sayılabilirlik ne demek :)

---

$\mathbb{N}$-ye denk olan her kümeye numaralanabilirdir denir.

Bir küme sonlu veya $\mathbb{N}$-ye denk ise sayılabilirdir denir.

aynı şey :)

---

Şu da var. Bir küme dizi yapısında yazılabilirse numaralanabilirdir.

---

Biraz döngüsel oluyor o zaman, öyle değil mi? Doğal sayıların sayılabilir olduğunu "göstermek" demek verdiğin tanım gereği doğal sayıların doğal sayılara denk (ya da sonlu) olması demek.

---

Evet hocam teşekkür ederim

Answer 1

Tanım1: Bir küme kendisine denk olan bir özalt kümeye sahipse sonsuz küme olarak adlandırılır.

Tanım2: A ve B kümeleri arasında birebir eşleme(bire-bir ve örten) kurulabilirse bu kümelere denktir veya aynı kuvvettendir denir ve $A\sim B$ şeklinde yazılır.

Tanım1 den $Ç=\left\{ 2n:n\in \mathbb{N} \right\}$ olsun. $Ç\subset \mathbb{N}$ ve $Ç\neq \mathbb{N}$ dir.

Şimdi denklikten bahsedebiliriz.$(Ç\sim \mathbb{N})$

Dönüşümü tanımlayalım $\varphi :\mathbb{N} \rightarrow Ç$ , $\varphi \left( n\right) =2n$

O halde

• $\varphi :\mathbb{N}  \rightarrow Ç$  $\forall n_{1},n_{2}\in \mathbb{N}$ için $n_{1}\neq n_{2}$ iken $\varphi \left( n_{1}\right) =2n_{1}\neq 2n_{2}=\varphi \left( n_{2}\right)$ olup $\varphi$ dönüşümü bire-bir dir.
• $\varphi :\mathbb{N} \rightarrow Ç$ dönüşümü $\forall 2n\in Ç$ için $\varphi \left( n\right) =2n$ olacak biçimde en az bir $n\in \mathbb{N}$ vardır o halde $\varphi$ dönüşümü örtendir.

Böylelikle $\mathbb{N}$ ve $Ç$ kümeleri arasında birebir eşleme kurabildik.O halde $Ç\sim \mathbb{N}$ dir. Dolayısıyla $\mathbb{N}$ sonsuz bir kümedir.