Reel sayılar kümesinde yaratılan dogru parçaları,tanım kümesi $\mathbb Q$ olarak değiştirilirse , aynı nitelikte aynı doğru üretilebilinir mi?

Question

Sezgısel olarak hataya düşebilirim ancak, Yogun tanımını bılıyorum artık ,ve  Reel sayılar içinde $\mathbb Q$ yogun bır kumedir,Reel sayılar dogrusunda bır dogru parçası alsak, hertarafı dopdolu noktalar kumesıdır,Peki aynı dogru parçasının tanım kumesını $\mathbb Q$ olarak seçersek ve $\mathbb Q$ da $\mathbb R$ de yogunsa gene aynı dogru parçasına ulaşamaz mıyız? 

Çünki aynı dogru parçası ıçınde her reel sayıyı ıceren her aralıkta ,sonsuz $\mathbb Q$ elemanı olacaktır dolayısıyla gene dogruyu oluşturabılırız.

Comments

Şunu mu demek istiyorsun?

Sercan sana bir doğru parçası göndermek istiyor. Bana diyor ki "Özgür git bu doğru parçasını fotonyiyenadam'a ver". Ben de peki diyip doğru parçasını alıyorum. Ama yolda giderken diyorum ki "Dur ben fotonyiyenadam'a kıllık yapayım." ve Sercan'ın bana verdiği doğru parçası üzerindeki bütün irrasyonel noktaları çıkarıyorum. Sana geliyorum ve bu irrasyonel noktaları çıkarılmış doğruyu takdim ediyorum. Evet, sen benim sana verdiğim yolunmuş doğruya bakıp kapanışını alırsan Sercan'ın sana verdiği doğru parçasını bulabilirsin.

$X$ doğru parçan olsun. $\overline{X \cap \mathbb{Q}} = X$ olur.

---

kapanışı, iki ucundan alıp araları sılıkonlamak gıbı mı duşunecegım, kapanışın tanımını da verırsen super olucak sevgili Ozgür.

---

Reel sayılarda bildiğimiz standart topoloji ile kapanış şöyle tanımlıyor.

$a$ sayısı $X$ kümesinin kapanışında demek, $a$'yı içeren her açık aralık $X$ ile kesişiyor demek. Yani $a$'ya ne kadar zum yaparsan yap, $a$'nın etrafına baktığında $X$'ten bir eleman göreceksin. $X$in kapanışında olan elemanların kümesini de $\overline{X}$ ile gösteriyoruz

Eğer $a$'nın kendisi $X$'in içerisinde ise zaten ne kadar zum yaparsan yap hep $a$'yı gorecegin için $X \subseteq \overline{X}$ olur. Eğer $X$ kapalı bir küme ise $X = \overline{X}$ olur.