Question

$\left\{x:x=\tan y,y\in [ 0,\pi /2] \right\} $  küme kompakt mıdır ?

$x= 0$ için $tany=0$

$x=\pi/2$ için $tany=\infty$

$x=[  0,\infty) $ oldu.Heine-Borel teoremini kullanarak x kümesi sınırsız olduğunu için kompakt değildir dedim ama çekincem şu $tan(\pi/2)$ tanımsız mı demem gerekirdi ?

Comments

$[0,\infty)$ demek makul.

Tabii bunu demek için daha fazlasını demelisin.
0'dan başlıyor. Artan bir fonksiyon. Limiti sonsuza gidiyor.

---

Senin yazım stilini kabul edenler de var. Limiti sonsuz demek yerine $f(a)=\infty$ yazılabiliyor.

---

Tanımsız diyebilirsin ama tam karşılamaz. $\sin(1/x)$ tanımsız oluyor ama sınırlı.

---

$[-\frac\pi2,0]$ olsaydı ne yazacaktınız?

---

Dediğiniz aralık kapalı ve sınırlı , o zaman kompakttır.

---

Ben y için aralığı kastediyorum.

$\{x:x=\tan y, \ y\in[-\frac\pi2,0]\}$ olsaydı, bu küme neye eşit olurdu?

---

$tan(-\frac\pi2) = \infty$ , yine $[0,\infty)$ aralığı olmuyor mu ?

---

Bu küme için bir y seçip x i hesaplar mısın?

---

$y=\pi$ olsun $tan(\pi)=0=x$ oluyor

---

$\pi\notin [-\frac\pi2,0]$ .

---

hocam yanlış oldu , $y=-\pi/4$ olsun $tan(-\pi/4)$ = -$1$

---

Ama $-1\notin[0,\infty)$

---

$(-\infty,0]$ olmalı