Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Teorem : F bir cisim ve Char(F)=p   olsun.  nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart  $F=F^p $ olmasıdır. 

Bu teoreme göre ben $\mathbb{Z}_2$ cismini alsam. 

$Char(\mathbb{Z}_2)=2$ olup ,  $\mathbb{Z}_2$ nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart $\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_2)^2$ mi?

Diye sorguladıgımda;

$\bullet$ $1\in\mathbb{Z}_2$ için $1=b^p \rightarrow 1=b^2$ olacak biçimde $b\in\mathbb{Z}_2$ var mı?

öyle bir $b\in\mathbb{Z}_2$ bulabilirim. $1=b\in\mathbb{Z}_2$ olarak alabilriz.

$\bullet$ $0\in\mathbb{Z}_2$ için $0=b^p \rightarrow 0=b^2$ olacak biçimde $b\in\mathbb{Z}_2$ var mı?

aynı şekilde $b\in\mathbb{Z}_2$ bulabilirim. $0=b\in\mathbb{Z}_2$ olarak alabilriz.

yani $\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_2)^2$ olması mümkün. Bu doğru mu?

2. olarak mükemmel cisimi böyle bulabilirsek mükemmel olmayan cisim için bunun olmadığı bir koşul işimizi sağlar mı?

Lisans Matematik kategorisinde (24 puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Birinci soruna yanıt: Evet doğru.

Ikinci soruna yanıt: Evet. Gerek şart demek o demek. Mükemmel cisim olması için bu şart gerekli. Demek ki bu şart sağlanmazsa mükemmel olmayız.
(2.5k puan) tarafından 

Peki o zaman şöyle söyleyebilir miyim?

Mükemmel olmayan cisim için $F=F^p$ bu eşitliği saglamayacak bir cisim lazım. Ama bu cisim $\mathbb{Z}_p$ olamıyor. Kosulu gercekliyor. Karakteristiği sıfır olanlara baksam onlarda;

Teorem : F bir cisim ve Char(F)=p   olsun.  F  nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart  $F=F^p$ olmasıdır. teoreminden dolayı karakteristiğin 0 dan farklı olması yüzünden saglamıyor.

Geri kalan baska secenek polinom halkaları onlarda özel bir cisim ama hangi polinom halkalarında bu teoremi calıstırabiliyorum. Sanırım karakteristiği 0 dan farklı olanlar yine $\mathbb{Z}_p[x]$ cisimleri.

Şimdi o zaman soru şu $\mathbb{Z}_p[x]$ deki elemanlar polinomlar bunları nasıl değerlendireceğim ben?

$\mathbb{Z}_p[x]$ bir cisim değildir. Bir maksimal ideale bölmen gerekir cisim elde etmek için.

Ama işin biraz zor. Şunu önce göstermeyi dene:

HER sonlu cisim mükemmeldir.

(Bu doğru ise, mükemmel olmayan cisilmlerin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmak zorunda)

$\bullet$Her sonlu cisim mükemmeldir.

F sonlu bir cisim $\lambda:F\rightarrow F$, $\lambda_p(a)=a^p$ şeklinde bir $\lambda_p$ homomorfizması tanımlarsak,

$Gör(\lambda)$=$\{\lambda_p(a):a\in F \}$=$\{a^p : a\in F\}$ =$F^p$ oldugundan $F=F^p$ dir. Yukarıda yazmış oldugum teoremden dolayıda F mükemmeldir şeklinde ifadeyle elimde buna ait kanıt mevcut.

Peki dediğinize göre düşünürsek bu sonucun tersi için kesin dogruluk payı var mı?Yani tamam bu dogru o zaman ben bu teoremden dolayı sonsuz elemanlı asal karakteristikler kesin mükemmel degildir diyebilir miyim?

Şöylede bir durum var, hangi ifadeye bakarsam bakayım cisimin karakteristiği 0 olup sonsuz elemanlı olan karakteristigi 0 dan farklı olan sonlu elemanlı cisimler hep mükemmel iken "mükemmel olmayan cisilmlerin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmak zorunda" ifadesi biraz kafamı karıstırdı.

İspatlayabilirsen diyebilirsin.

(Mükemmel  olmayan cisimlerin varlığı henüz gösterilmemiş ise) Belki şöyle ifade etmek dah iyi olur:

  (eğer varsa) Mükemmel  olmayan bir cismin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmalıdır.

Şimdi efendim mükemmel olmayan cisimlerin varlıgı henüz gösterilmemiş ise biz bu sonucu kullanıp ispatladıgımız an sizin bu dediğiniz denebilir yani;

"(eğer varsa) Mükemmel  olmayan bir cismin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmalıdır."

Peki ben ne sorarsam sorayım o zaman mükemmel olmayan cisimlerin varlıgı henüz gösterilmediği için sizin bu dediğiniz şekilde düşünmem bana yardımcı olacak o halde.

$\mathbb{Z}_p[x]$ polinom halkasını bir maksimali olan $p\mathbb{Z}$ ye bölsek ? Bizi nasıl bir yola sokacak peki? Lisans düzeyi için aşıyorsa bu mükemmel olmayan cisimler hocam konuyu kapatabiliriz sadece merakımdan soruyorum sorularımı :)
Yok demedim. Kesinlikle var. Sen henüz göstermedin demek istedim. Bu konudaki kitaplarda örneğini görebilirsin.

$p\mathbb{Z}\nsubseteqq \mathbb{Z}_p[x]$
Hocam peki kitap önerisinde bulunabilir misiniz? Elimde bir tane kitap var ama mükemmel ve mükemmel olmayan cisimlerle ilgili konu yok içinde.
J. Rotman, Galois Theory (2. Baskı)

Orada, mükemmel olmayan cisim örneği (alıştırmaları yapınca) bulunuyor.
Aslında orada (Rotman ın Galois Theory kitabı) mükemmel cisim farklı şekide tanımlanıyor, ama alıştırmalarda bu tanıma eşdeğer olduğu gösteriliyor.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\mathbb{F} = \mathbb{F}_p(X)$ cismi (ki bunlar $g \neq 0$ olmak üzere $f, g \in \mathbb{F}_p[X]$ polinomları için $f/g$ biçiminde yazılan rasyonel polinomlar kümesidir; tahmin edilen toplama ve çarpmayla bir cisim olur) mükemmel bir cisim değildir. $\alpha(X)^p = X$ eşitliğini sağlayan bir $\alpha(X) \in \mathbb{F}_p(X)$ elemanı yoktur çünkü. (Alıştırma olarak bırakıyorum. İpucu: $a_i \in \mathbb{F}_p$ için, $(a_0+a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_nX^n)^p = a_0 + a_1X^p + a_2X^{2p} + \cdots + a_n X^{np}$ olur.)
(904 puan) tarafından 
20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,138,991 kullanıcı