Topoloji Kanıt Sorusu [kapalı]

Question

Tanım: X bir k¨ume ve A ⊆ X olsun.
χA : X → IR 

χA(x) = \left\{\begin{array}{ll}
        1 & \textrm{ x ∈ A  ise}\\
        0 & \textrm{ x /∈ A  ise}
        \end{array} \right.
        \end{displaymath}

biçiminde tanımlanan fonksiyona A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.
(X,T) bir topolojik uzay ve A ⊆ X olsun. Bu durumda A kümesinin karakteristik fonksiyonunun sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul A kümesinin (X,T) topolojik uzayında hem açık hem de kapalı olmasıdır. Gösteriniz.
Not: IR gerçel sayılar kümesini Öklid topolojisiyle göz önüne alınız.

Comments

f, x noktasında sürekli olması için gerekli ve yeterli koşul;  ∀v∈ U(f(x)) için en az bir u∈ U(X) | f(u)⊆ V olmasıdır.