Genel Topoloji Sorusu

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A\in \tau \Rightarrow cl(A)\cap (X\setminus Fr(A))=A$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

$cl(A): A$ kümesinin kapanışı

$Fr(A): A$ kümesinin sınırı

Comments

Hocam, yorum yapacagım dıye gızledım yanlışlıkla, kusurabakmayın,

Hocam bu sorular süper ancak bir iki cümle ile ne anlam ifade ettiğini söyleyebilir miydiniz, şuan kümeler ve analiz çalışıyorum topolojıye daha 2 kıtap var, şimdiden de benim gibi acemi ögrenciler'in aklında fikirler oluşurdu :) tabi bu benim cahil fikrim :) 

---

Sorunun Türkçesi

"Herhangi bir topolojik uzayda açık her küme, kapanışı ile sınırının tümleyeninin kesişimine eşittir."

önermesi doğru mudur?

Answer 1

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$Fr(A)=X\setminus (A^{\circ}\cup A^d).$$

Bu teoremin de ayrıca kanıtını yapabiliriz. Ben yukarıdaki soruyu bu teoremi bildiğimizi varsayarak kanıtlayacağım.

$$cl(A)\cap (X\setminus Fr(A))$$

$$=$$

$$cl(A)\cap (A^{\circ}\cup A^d)$$

$$=$$

$$cl(A)\cap \left(A^{\circ}\cup (\setminus A)^{\circ}\right)$$

$$=$$

$$[cl(A)\cap A^{\circ}]\cup [cl(A)\cap (\setminus A)^{\circ} ]$$ $$=$$ $$A^{\circ}\cup \left [cl(A)\cap (X\setminus cl(A)) \right ]$$ $$=$$ $$A^{\circ}\cup\emptyset$$ $$=$$ $$A^{\circ}$$

ve

$$A\in \tau$$ olduğundan $$A^{\circ}=A$$ yani $$cl(A)\cap (X\setminus Fr(A))=A$$ olur.

Comments

Cevapta verdiğim teoremin ispatına buradan ulaşabilirsiniz