Topolojik uzaylarda kanıt

Question

(X,T) ve (Y,T*) iki topolojik uzay, f : (X,T) → (Y,T*) birebir ve örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda f fonksiyonunun bir homeomorfizm olması için gerekli ve yeterli koşul T* ın f fonksiyonu ve (X,T) topolojik uzayı ile Y  üzerinde üretilen tümel topoloji olmasıdır. Gösteriniz.

Comments

f fonsiyonunun homeomorfizm olması için gerekli ve yeterli koşul ; f fonksiyonunun birebir, örten, sürekli ve f'in tersinin sürekli olmasıdır.Tümel topolojiyle ilişkisini kuramadım.Yardımcı olur musunuz?

---

"tümel topoloji " nedir?

---

Boş olmayan bir X kümesi ile bir Y = {(Yı,Tı, ) : ı ∈I} topolojik uzaylar ailesini düşünelim. Her ı ∈ I için bir fı : Yı → X
fonksiyonu verilmiş olsun. X kümesi üzerindeki topolojik uzaylar arasında F = {fı : ı ∈ I} fonksiyonlarının herbirisini sürekli kılan topolojilerin en ince dokulusuna T diyelim. T topolojisine, {Tı : ı ∈ I} topolojiler ailesinin, F fonksiyonlarına göre tümel topolojisi ve (X,T) uzayına da Y uzaylarının, Fye göre tümel uzayı denilir.

---

f fonksiyonun bir homeomorfizm ise T* ,  f fonksiyonu ve (X,T) topolojik uzayı ile Y  üzerinde üretilen tümel topoloji olduğunu göstermeyi denediniz mi?

---

Evet denedim.

T* ın f fonksiyonu ve (X,T) topolojik uzayı ile Y üzerinde üretilen tümel topoloji olması için , f fonksiyonunu sürekli yapan Y üzerindeki en ince topoloji olması gerekir.

T* ın f fonksiyonunu sürekli yapan Y üzerindeki en ince topoloji olduğunu gösterdim.

Kanıt için yeterli olur mu?

---

O zaman çift gerektirmenin (=gerek ve yeter koşulun) bir yönünü göstermiş olursun.

Bir de, $f$ homeomorfizma değil ise $f$ nin ürettiği topolojinin tümel topoloji olmadığını göstermeyi dene.

---

Tamam teşekkür ederim.

---

bulabildiniz mi cevabı bizim sınav sorusu ama yapamıyorum ben