Question

İki irrasyonel sayının toplamı ve çarpımı daima irrasyonel midir?

Answer 1

Soruya daha genel bir cevap verebiliriz:

Önerme: $(G,*)$ bir grup ve $H\subsetneqq G$ bir alt grup olsun.

O zaman, $*$ işlemi, $G\setminus H$  kümesi üzerinde kapalı olamaz.

($G\setminus H$  kümesi, $*$ işlemi altında kapalı olamaz.)

İspat:

$a\in G\setminus H$ olsun. O zaman, ($H$ bir alt grup olduğu için) $a^{-1}\notin H$ , dolayısıyla $a^{-1}\in G\setminus H$ olur .

$a*a^{-1}=e\in H$ ($e,\ H$ ve $G$ nin ortak birim elemanı)  olduğu için $a*a^{-1}\notin  G\setminus H$  olur.

(Daha da fazlası doğrudur: $\forall b\in H$ için, $a^{-1}*b\in G\setminus H$ ve  $a*(a^{-1}*b)=b\notin G\setminus H$ olur)

Bu da iddiamızı ispatlar.

Şimdi:

$(\mathbb{R},+)$ grubu ve $\mathbb{Q}$ altgrubu için bu önermeyi kullanarak, irrasyonel sayıların toplama işlemi altında kapalı olmadığını görürüz.

$(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ grubu ve $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ altgrubu için bu önermeyi kullanarak, irrasyonel sayıların çarpma işlemi altında kapalı olmadığını görürüz.

Benzer pek çok soruyu da kolayca cevaplayabiliriz:

Gerçel olmayan karmaşık sayılar ($\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$) da toplama ve çarpma işlemleri altında kapalı değildir.

Aşkın (transandant) (gerçel veya karmaşık) sayılar da toplama ve çarpma işlemleri altında kapalı değildir.

 

Comments

Biraz Lisans düzeyi oldu ama Orta Öğretim düzeyindekiler de anlayabilir sanırım.

Answer 2

$\sqrt2$ sayısı irrasyoneldir.

$\sqrt2$.$\sqrt2=2$ irrasyonel değildir.

$\sqrt2+(-\sqrt2)=0$ da irrasyonel değildir.

Answer 3

Evet, hileli bir örnek için herhangi bir irrasyonel $a$ sayısı için $1/a$ da irrasyoneldir ve tabii çarpımları $1$ olur.

Daha az hileli bir örnek $\sqrt{2}\sqrt{2}=2$.