Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
2.2k kez görüntülendi

$\pi^2$ sayisinin irrasyonel oldugunu gosteriniz.

Not: $\sqrt2$ bir irrasyonel sayi fakat karesi rasyonel. 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.2k kez görüntülendi

aşkın sayılar irrasyonel midir?

Tabi askin oldugunu gosterirsek is biter, sadece $\pi^2=a/b$  kabulu ile  bunu gosterebilir miyiz?  (Rasyonel sayilar uzerinde) Askin oldugunu gosterince tum rasyonel katsayili (derece>1) $P(\pi)$'ler irrasyonel olur.

2 tane kesirli sayı alırım aralıgı sürekli kücültürüm ama hicbirzaman tamamen $\pi^2$ ye ulaşamam kısaca böyle olur .

Bu dedigin yontem basit mi? Bi dene bakalim, cikarsa cevap bekliyorum.

polinomal şekilde pi yi gösterip 2 polinomun çarpımındakı gıbı gosterme de degıl demı sızın yontemınız? amacım sızden farklı bır şekılde ıspatlamak.

hatta $r>1$ için her $k=r.\pi$   olan $k$ sayısı aşkındır" ı bile ispatlayabiliriz bu yontemle . iyice yazıp atıyım hocam.

$r$ nedir? Tam sayi mi? $\pi$ irrasyonel oldugundan $q\pi$ de irrasyonel olur, $q \in \mathbb Q$.

Benin yontemin $\pi=a/b$ ile baslamak ve celiski getirmek.

Daha önce Doğan hocam cevabı buraya eklemişti.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hatalı Yaklaşım

$2,7=2.10^0+7.10^{-1}+0.10^{-2}+0.10^{-3}+...........$ diye yazabilirim.

$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$ yalnız burada ,irrasyonel olmasının nedeni sonsuza doğru giden ve tekrar etmeyen(bizim bildiğimiz veriler ışığında) bir sayı olması.

peki $\pi^2$ için ne diyebiliriz? 

$h(x)=h_0+h_1.x+h_2.x^2+h_3.x^3+...$ gibi olan sonsuz polinom ile bir sonsuz polinomu daha çarpıyormuş gibi $\pi$ yi de öyle çarpalım.


$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$

$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$
                                                                                                                             $(\times)$
$-------------------------------$

2 polinomu çarparsak ve  $10^\ell$ yani aynı cinsten olanları (elmaları ve armutları) toplar yazarsak görüceğizki sonsuza doğru hiç bitmeyen ve aynı şekilde tekrar etmeyen sayılar silsilesi.

bu da sadece $\pi^2$nin irasyonelliğini değil $k\in\mathbb [1,\infty)\in \mathbb Z$ için  $k.\pi$ 'nin de irasyonelliğini gösterir


(7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Aynisini $\sqrt 2$ icin de yapabilirsin. Fakat karesi $2$ geliyor. Oradaki notu yazma sebebim de buydu.

işte oyuzden yaklaşım-2 var

Hadi bakalim, onu bekliyoruz o zaman :)

π 'ni irasyonelliği bu kadar basit tanımlanmamalı.

20,193 soru
21,723 cevap
73,248 yorum
1,864,350 kullanıcı