Soruya daha genel bir cevap verebiliriz:
Önerme: $(G,*)$ bir grup ve $H\subsetneqq G$ bir alt grup olsun.
O zaman, $*$ işlemi, $G\setminus H$ kümesi üzerinde kapalı olamaz.
($G\setminus H$ kümesi, $*$ işlemi altında kapalı olamaz.)
İspat:
$a\in G\setminus H$ olsun. O zaman, ($H$ bir alt grup olduğu için) $a^{-1}\notin H$ , dolayısıyla $a^{-1}\in G\setminus H$ olur .
$a*a^{-1}=e\in H$ ($e,\ H$ ve $G$ nin ortak birim elemanı) olduğu için $a*a^{-1}\notin G\setminus H$ olur.
(Daha da fazlası doğrudur: $\forall b\in H$ için, $a^{-1}*b\in G\setminus H$ ve $a*(a^{-1}*b)=b\notin G\setminus H$ olur)
Bu da iddiamızı ispatlar.
Şimdi:
$(\mathbb{R},+)$ grubu ve $\mathbb{Q}$ altgrubu için bu önermeyi kullanarak, irrasyonel sayıların toplama işlemi altında kapalı olmadığını görürüz.
$(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ grubu ve $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ altgrubu için bu önermeyi kullanarak, irrasyonel sayıların çarpma işlemi altında kapalı olmadığını görürüz.
Benzer pek çok soruyu da kolayca cevaplayabiliriz:
Gerçel olmayan karmaşık sayılar ($\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$) da toplama ve çarpma işlemleri altında kapalı değildir.
Aşkın (transandant) (gerçel veya karmaşık) sayılar da toplama ve çarpma işlemleri altında kapalı değildir.