Question

$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\sin k$ dizisinin sınırlı bir dizi olduğunu gösteriniz.

İlgili soru: https://matkafasi.com/4397
İlgili cevap: http://matkafasi.com/4397/#a129583

Comments

Sitede bunu konuştuğumuzu hatırlıyor gibiyim. Soru var olabilir. Hatta aynısını ya da benzerini ben bile sormuş olabilirim.

---

Mühendis halimle ahkam keseceğim ama, bu dizinin sınırlı olduğunu pek sanmıyorum. Biraz ingilizce karışık olacak ama $\sin k$ değerleri 1'e arbitrarily close olarak sonsuz kere yaklaşır. O yüzden bu kısmi toplamlar dizisinin değeri her tamsayıyı bir yerden sonra mutlaka geçer diye düşünüyorum.

---

Evet yorumu yazar yazmaz farkettim, -1'e de arbitrarily close olarak yaklaşır. Sözümü geri aldım:)

Answer 1

Her $k$ gerçel sayısı için\[2\sin(0.5)\sin k=\cos(k-0.5)-\cos(k+0.5)\]eşitliği sağlanır. Dolayısıyla istenen toplam\[\frac{\cos(0.5)-\cos(n+0.5)}{2\sin(0.5)}\]ifadesine eşit olur. $\cos$ sınırlı olduğundan bu parça toplamlar da sınırlı olur.