Alterne Serinin Karakterinin İncelenmesi

Question

Alterne bir seri olduğu için öncelikle mutlak yakınsak olup olmadığını kontrol ettim. Bunun için aşağıdaki şekilde test ettim:

Mutlak yakınsak olmadığı için koşullu yakınsak olup olmadığına bakıldığında, n=0 için negatif olacağı için koşullu yakınsak da değildir. Dolayısıyla mutlak yakınsak ve koşullu yakınsak olmadığından ıraksaktır.

Yazdığım eşitsizlik doğru mu ve karşılaştırma testi uygun mu, emin değilim.

Çözümüm doğru mu acaba? Yardımcı olabilir misiniz? 

 

Not: Latex kullanamadığım için soruyu bu şekilde yazabildim. 

Comments

Karsilastirmayi nasil yaptigin belli degil, bazilari $3n-1$ bazilari $3n+1$ nasil bu sonuca ulastin.

Ayrica direkt karsilastirma testini yanlis kullaniyorsun:
$0\le a_n \le b_n$ dizileri icin sonlu $\sum a_n$ ve $\sum b_n$ toplamlarina bakarsak $\sum a_n \le \sum b_n$ olur, degil mi?

Buradan direkt karsilastirma testini ispati geliyor. Hatana ters ornek de bulabilirsin.

---

Haklısınız hocam, şimdi fark ettim ben de; facia bir çözüm(!) olmuş ve başka nasıl test edebileceğimi de bilmiyorum.

---

Başka bir "karşılaştırma " testi de var.

---

$3n\pm 1 \le 3(n+1)$ de kullanilabilir; illa direkt karslastirma kullanilmak istenirse...

---

O halde daha küçük bir seri seçmiş oluyoruz ve direkt karşılaştırma testinin sonuç vermesi için seçtiğimiz serinin ıraksak olması gerekiyor. Peki bu serinin ıraksak olduğunu da göstermemiz gerekmiyor mu?

---

Limit karşılaştırma testini diyorsunuz sanırım. Ancak mutlak değerini aldıktan sonra n=0 yerine n=1 den başlatıp n=0 için 1 ekledim, n=0 için negatif oluyor çünkü. Böyle olunca da (an) yerine ne yazacağımı bilemedim.

---

Sercan Hocam, aşağıdaki şekilde olur mu acaba?

---

$\sum \frac1{3n\pm1}\geq\sum \frac1{5n}$ yerine $\frac1{3n\pm1}\geq\frac1{5n}$ yazmalısın.

---

Koşullu yakınsak olmadığı nasıl gösterildi?

n=0 için negatif olmasının hiç önemi yok.

---

ben soru hakkında şunları düşündüm

$\left| \dfrac {\left( -1\right) ^{n}}{3n+\left( -1\right) ^{n+1}}\right| =\dfrac {\left| \left( -1\right) ^{n}\right| }{|3n+\left(-1\right) ^{n+1}|}$ $=\dfrac {1}{3n+1}=a_n$

$b_{n}=\dfrac {1}{3n}$ olsun ve $\sum b_{n}$ p serisi testine göre ıraksak.

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {3n}{3n+1}=1 >0$

o halde $\sum a_{n}$ , mutlak yakınsak değildir.Koşullu yakınsaklık için de 3 koşulu sağlarsa koşullu yakınsak diyebiliriz

---

Hatta 3 koşulu da sağlıyor.Koşullu yakınsakmış bu seri

---

Doğan Hocam,

Aşağıdaki şekilde düşündüm.

---

Mutlak değeri alınınca payda  3n±1  olmaz mı?

---

O teorem,

$a_0<0$ ise seri ıraksaktır demiyor ki.

Çoğu teoremde olduğu gibi   "p ise q doğrudur "şeklinde .

p yanlış ise q hakkında, bu teoremden, bir şey söyleyemeyiz.

---

Teşekkür ederim Doğan Hocam.