Alterne serinin kosulllari

Question

Uzun zamandir kafami kurcalayan bir soru var.

$a_n>0$ (veya $a_n<0$ )   $\forall  n\in \mathbb{N}$ olmak uzere,

$$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^na_n$$ alterne serisi

$i)$ $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$

$ii)$ $a_{n+1}\leq a_n$       ($n\geq N$ icin. Monotonluk testi) 

kosullarini sagliyorsa, $\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^na_n$  seri yakinsaktir denir.

Soru su: neden ikinci kosul gerekli? Dahasi aradigim karsit bir ornek var mi oyle ki

$i)$ $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$

$ii)$ $a_{n+1}\nleq a_n$   $\forall  n\in \mathbb{N}$ icin

$\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^na_n$  seri yakinsak olmasin.

Comments

Bir sekilde harmonik seriyi yakalayabiliriz: Soyle bir iki adim acarsak $$\frac12+\frac16+\frac18=1-\frac12+\frac13-\frac16+\frac14-\frac18$$ esitligini yakalariz.

Answer 1

Bu iki koşul yeterli. 

Birincisi gerekli, ikincisi gerekli değil. Örnek:

$a_n=\begin{cases}\frac1{n^2}\quad n \text{ tek}\\\frac1{n^3}\quad n \text{ çift}\end{cases}$ olsun.

Bu dizi azalan değildir. Ama:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n=-1+\frac18-\frac19+\frac1{64}+\cdots$ serisi yakınsaksaktır.

Edit: ikinci satırdaki virgülün yerini düzelttim.

Comments

Bir de (biraz farklı) bu var.

$a_n=\begin{cases}\frac1{n^2}\quad n\text{ çift}\\-\frac1{n^2}\quad n\text{ tek}\end{cases}$

---

Okkes eklememis ama alterne icin $a_n> 0$ (bir $n$ icin $a_n= 0$ ise sonlu toplam verir) kosulu da olmali.

---

Bir de soruda ikinci kosul neden gerekli diyor. Bu ornek olmasa da olur diyor. Belki tamamen gereksiz. Gerekli oldugunu gostermek icin ters ornek vermemiz gerekli degil mi? Belki ben soruyu yanlis anladim. 

---

@DoganDonmez hocam soruyu biraz duzenledim. Yani ikinci kosulu tamamen kaldirabilirmiyiz. Aslinda sorum basit sekilde, $a_{n+1}\leq a_n$ olmadigi icin seri yakinsak degildir diyebilecegimiz bir ornek ariyorum..

---

O durumda seri bazan yakınsar bazan yakınsamaz. Örnek bulmak zor değil.

Bu teoremin daha genel bir şekli vardır:

$\sum b_n$ serisinin kısmi toplamlar dizisi sınırlı ve $(a_n)$ azalan bir dizi ve $\lim a_n=0$ ise $\sum (a_nb_n)$ serisi yakınsaktır.

($b_n=(-1)^n$  alınırsa verilen teorem elde ediliyor.)

---

Dirichlet testi degil mi bu bahsettiginiz?

---

@Okkes Dulgerci: Evet Dirichlet Testi.

@Serkan: Cevapta belirttiğim gibi o koşul gerekli değil. Sadece Yeterli.

Ama onun yerine konabilecek basit bir gerek ve yeter koşul sanırım yoktur.

Answer 2

Yukarida dedigim gibi bir sekilde harmonik seri yakalanabilir:

(1) $a_0=2$ ve $a_1=1$ ise $a_0-a_1=1$ olur.

(2) $a_2=1$ ve $a_3=1/2$ ise $a_2-a_3=1/2$ olur.

(3) $a_4=2/3$ ve $a_5=1/3$ ise $a_4-a_5=1/3$ olur.

          $\vdots$

Bu mantik ile $$a_n=\begin{cases} \frac{2}{k+1} &n=2k, k\in \mathbb Z^{\ge 0} \\  \frac{1}{k+1} &n=2k+1, k\in \mathbb Z^{\ge 0}\end{cases}$$ olarak secersek $$\lim_{k\to \infty} A_{2k+1}=\lim_{k\to \infty}\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i}$$ sonsuza iraksar. ($A_n$ sonlu $\sum_{i=0}^n(-1)^ia_i$ toplami).