özyapı dönüşümleri üzerine

Question

doğal sayılar kümesinde $R$ ikili ilişkisi şöyle tanımlanıyor:

$xRy\Leftrightarrow x|y$ $olmasıdır.$

$(\mathbb{N} ,R)$ yapısının özyapı dönüşümlerini bulunuz.

Comments

$R:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ bir fonksiyon (bağıntı, ikili ilişki) olsun. $x,y\in\mathbb{N}$ olmak üzere

$x|y\Rightarrow\exists k\in\mathbb{N}  (y=kx)$   olur.

$xRy\Rightarrow R(x)=y\Rightarrow R(x)=kx$   yani $R$ ikili ilişkisi $R(x)=kx$  ($x\neq0$) kuralıyla tanımlanmış $(\mathbb{N},R)$ yapısının bir özyapı dönüşümüdür.

Gösterelim;

$\ast$ $R(x)=x$ birim fonksiyonu bu öz yapı dönüşümünü sağlar.

$\ast$ Bileşke özelliğini sağlamalı.

$\mathbb{N}$ de $R$ ve $S$ ikili ilişkileri tanımlansın. $R$ için ($xRy\iff x|y$) ve $S$ için ($ySz\iff y|z$) olsun. O halde $x|y\Rightarrow \exists k\in\mathbb{N}(y=kx)$ ve $y|z\Rightarrow \exists l\in \mathbb{N}(z=ly)$ dir.

$S\circ R=S(R(x))=S(kx)=l(kx)=x(kl)$ o halde  $x|x(kl)$  dir. $S\circ R$ bileşkesi bu öz yapı dönüşümü sağlar.

$\ast$  $R$ bir öz yapı dönüşümüyse $R^{-1}$ de bir öz yapı dönüşümü olmalıdır. Öyledir de ve şöyle tanımlanabilir. $xR^{-1}y\iff y|x$  , ($y\neq0$)

(Aklıma gelen bunlar :) )

Answer 1

özyapı=otomorfizma değil mi? öyleyse...

özyapı dönüşümü ilişkiyi anımsayacak. O halde her şeyi bölen her şeyi bölene, her şey tarafından bölünen her şey tarafından bölünene gitmek zorunda. Yani $1\longmapsto 1$ ve $0\longmapsto 0$. Bir asal başka bir asala gidebilir (neden). O halde asalları kendi arasında karıştıran, asalların çarpımlarını da, çarpanların görüntülerinin çarpımına götüren bir fonksiyon olmalı. İşi resmiyete dökersek: $f:\mathbb{N}\longmapsto \mathbb{N}$ olsun. $f$'nin $(\mathbb{N},|)$ yapısının özyapı dönüşümü olması için sağlaması gereken şartlar şunlardır:

1. $f(0)=0$ ve $f(1)=1$;
2. $P$ asallar kümesi ise $f$'nin $P$'ye kısıtlaması $P$'den $P$'ye bir eşleme olmalı;
3. $n=\prod p_i^{r_i}$ asal çarpanlara ayrım ise $$f(n)=\prod f(p_i)^{r_i}$$ olmalı.