R:N→N bir fonksiyon (bağıntı, ikili ilişki) olsun. x,y∈N olmak üzere
x|y⇒∃k∈N(y=kx) olur.
xRy⇒R(x)=y⇒R(x)=kx yani R ikili ilişkisi R(x)=kx (x≠0) kuralıyla tanımlanmış (N,R) yapısının bir özyapı dönüşümüdür.
Gösterelim;
∗ R(x)=x birim fonksiyonu bu öz yapı dönüşümünü sağlar.
∗ Bileşke özelliğini sağlamalı.
N de R ve S ikili ilişkileri tanımlansın. R için (xRy⟺x|y) ve S için (ySz⟺y|z) olsun. O halde x|y⇒∃k∈N(y=kx) ve y|z⇒∃l∈N(z=ly) dir.
S∘R=S(R(x))=S(kx)=l(kx)=x(kl) o halde x|x(kl) dir. S∘R bileşkesi bu öz yapı dönüşümü sağlar.
∗ R bir öz yapı dönüşümüyse R−1 de bir öz yapı dönüşümü olmalıdır. Öyledir de ve şöyle tanımlanabilir. xR−1y⟺y|x , (y≠0)
(Aklıma gelen bunlar :) )