özyapı dönüşümleri üzerine

Question

Tamsayılar kümesinde $\forall$ $0\neq x\in \mathbb{Z} $ için $2^n$, $x$'i bölüyorsa ama $2^{n+1}$ bölmüyorsa, $v(x)=n$ yazalım. Eğer $x\neq y$ ise $d(x,y)=2^{-v(x-y)}$ olsun. Ayrıca $d(x,x)=0$ olarak tanımlanmış olsun. $(\mathbb{Z},d)$'nin bir metrik uzay olduğunu kanıtlayın. Bu metrik uzayın izometrilerini bulun.

Answer 1

1,2,3) $d(x,y)=d(y,x)=2^{v(x-y)}>0$ yani negatif deger almiyor, sadece $x=y$ durumunda sifir, ve de simetrik.

4) $v(x-y)=n > v(y-z)=m$ olsun. Oyleyse oyle $k,l \in \mathbb Z$, $(k,2)=(l,2)=1$ var ki $x-z=(x-y)+(y-z)=2^nk+2ml=2^m(2^{n-m}k+l)$. Yani $v(x-z)=m$, yani kucuk olana esit. Eger esitlerse de kucuk olandan buyuk olabilir. Yani alt sinir $m$. Burdan da ucgen esitsizligi gosterilebilir.