Karakteristiği sıfırdan farklı cisimler

Question

Evet şimdi karakteristigi sıfırdan farklı olan p asal olmak üzere modp deki sayılar bize cisim verir tamam bunlar sonlu cisimler için ve sonlu elemanlı bu.

Sonsuz elamanlı ve karakteristiği 0 dan farklı olabilecek bir cisim polinom halkaları tarafından olabilir mi? Aklıma böyle geliyor ama sonra sonlu ve sonsuz olması gibi şeyleri mi karıstırıyorum diyorum. Yardımcı olabilir misiniz?

Comments

Eleman sayisinin sonsuz karakteristigi sonlu olacak cisimler uzerine mi kafan karisti? Kafanin tam olarak o polinom dedigin yerde nasil karistigini anlayamadim.

---

"Eleman sayisinin sonsuz karakteristigi sonlu olacak cisimler " belki bu dediğinizde olabilir cok yoruldum suan sanırım . 

polinomda su sekilde simdi acıklıga kavusturayım onuda:

Arkadasım bana böyle bir sey attı. Bende burda  p asal olmak üzere bu polinom halkasında Zp sonlu iken nasıl sonsuz eleman aldı bu noktada takıldım. 

---

$(a,b)$ ikilisini dusun. Bu ikisi de $\mathbb Z_p$ cisminin elemani olsun. Bu  sekilde kac eleman vardir? Yani \[\{(a,b) : a,b \in \mathbb Z_p\}\] kumesi kac elemanlidir? 

(1) Bunu $ax+b$ polinomlari ile iliskilendir.  Derecesi $1$ ve daha kucuk polinmlar ile bu kumenin birebir bir iliski var mi?

$(a,b)\leftrightarrow ax+b$

(2) Dereceyi arttir, daha da arttir. 

---

P^2tane eleman  bu sonsuz mu oluyor ben mi yanlış düşündüm 

Mesela dediginiz gibi bu polinomla iliskilendirilince bir sürü polinom yazabiliriz özellikle derecelerini de artırıyoruz farklı farklı polinomlar.

Zp kümesi deyince ben sanırım p için tüm olabilecek asalları düşünmedim. Sonuçta asal sayılar sonsuz ve her kumede p-1 eleman olacak bunların birleşimleri sonsuz mu olacak eleman sayısı öyleyse evet. 

---

$p^2$ sonsuz degil elbet? $p=3,5,7$ icin $p^2=9,25,49$ olur. Sonlu.

Bir kume dusun icersinde $p$, $p^2$, $p^3$, $\cdots$ tane elemana sahip olan alt kumeler var. Bu kumenin eleman sayisi sonlu mudur, sonsuz mudur?

---

Bu durumda bu alt kümeleri sonsuz oluyor. 

---

Derecesi en çok kaç olan bir polinom yazabiliyorsun?

---

derecesi en cok p-1 degil miydi?

---

Sonlu sonsuz bir yana, polinomlar cisim oluşturuyor mu? Mesela $1+x$ polinomunun tersi var mı?

---

Bölüm halkasını kullansak bir  polinom halkası alsak ve bu halkayı üretecek bir ideal bulsak bir cisim elde edebiliriz. 

1+x polinomunun tersi var ama bağlantıyı kuramadım. Hani bu bölüm halkasının tam temsilciler kümesini yazarken elemanlarının içinde birbirinin tersleri muhakkak oluyor.

---

İşte yanıldığın nokta burası, neden derecesi en çok $p-1$ olsun ki? Karakteristiği $p$ demenin anlamı nedir, yazabilir misin?

---

Karakteristiği  p olan  olması halkanın birimiyle bu o işleme girince 0 vermesi p.1=0 

Ben o p-1 i bölüm halkasın elemanları bulunurken bir derece küçük yazabiliyorduk o yüzden dedim. Ama hatalı yaklaştım galiba 

---

$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$'nin ne olduğunu biliyor musun? Eğer biliyorsan, katsayıları bu halkada olan 5 tane polinom örneği yazar mısın lütfen? Kafanın nerede karıştığına dair bir fikrim var, umarım bu soruyu yanıtlamaya çalışırken ortaya çıkacak neyi yanlış anladığın ve neden kafanın karıştığı?

---

 

kümemiz bunun içindeki elemanlardan olusacak. Yani karakteristigi 3 olan bir bakıma mod3 e göre bakacagımız ve polinomlarıda buna göre yazarken katsayıları mod3 e göre kontrol edecegiz.

  

gibi polinomlar.

---

Az demişim, özür dilerim. Altı tane daha yazabilir misin? Yazdıklarım, nerede yanıldığını dair sanımın doğru olduğunu gösteriyor bu arada.

---

Yazayım yazmasınada tam olarak nereye varacagız ben onuda anlayamadım, kusura bakmayın yoruyorum baya. 

valla suan cok merak ettim. umarım kızmıyorsunuzdur.

---

Ohooo, ben baya hesap yapamamışım, o halde kısa yoldan gideyim. Sorum şu, neden üçüncü dereceden hiç örnek vermiyorsun?

---

O zaman ben bunu sonlu olmasıyla mı karıstırıyorum demek mi bu ?

Şimdi ben bölüm halkasında bir ideal olarak 3.dereceden bir polinom olarak mı algılamıs gibi oldum.Öyle oluncada derecesi 2 ve daha düşük polinomlara mı gitti yani aklım?

---

Evet. Her dereceden polinom var, ama katsayılar üzerinde bir kısıt var. Her dereceden polinom olduğu için sonsuz bir halkan var, ama belli bir derecedeki polinomlara bakarsan, sonlu sayıda var, çünkü polinom yazmak için kullanacağın katsayılar sonlu sayıda.

---

Bu durumda o ifadeyi şöyle düzenlesem:

m asal sayı olmak üzere hemde bu m bu elde ettiğimiz halkamızın karakteristiği oluyor. 

bu şekilde ifade edebiliriz.

Ayrıca dediğiniz gibi derecesi belli birsey değil her dereceden polinom var sadece katsayıları  

 ye baglı durumda.

Bu sayede sonsuz elemana ve karakteristiğimiz 0'dan farklı olan bir halka elde ettik.

---

Evet. Bu halkanın çarpmasını şimdilik unutalım, sadece toplamsal yapısına bakalım. Bu durumda elimizde bir grup oluyor değil mi, çünkü polinomların toplamları da polinom, sıfır polinomu etkisiz eleman vs. Senden istediğim, soldaki gruptan, sağdaki gruba birebir bir grup homomorfizması yazman.

$????: ((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X],+,0) \longrightarrow \mathbb{Z}^{\mathbb{N}}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots
$

---

 

böyle olursa istediğiniz gibi olur mu ki? Birebirlik konusunda tam emin olamadım nedense.  olunca kafam karıstı sanki.

---

$g_1(x),\cdots,g_n(x)$ yazmışsın, bunlar ne? En basitinden, $n$ ne, ya da $g_n(x)$ ne? Bunlar görüntü olarak tanımladığın elemanın parçası oldukları için, $a$ dediğin şeye bağlı olmalılar değil mi? Nasıl bir bağ var arada? Senin fonksiyonunun kuralını kullanarak, $1+x$ fonksiyonunun görüntüsü ne olacak?

---

Yazamadık hocam o zaman.

---

Öncelikle yukardaki soumdaki $\mathbb{Z}$'leri $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ değiştireyim, yanlış yazmışım. Senden istediğim,

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ halkasındaki elemanları kullanarak $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times\cdots$

kümesinden elemanlar yazman. Bence yazabilirsin.

---

Sirali n lilere gitmeyecek mi bunlar o zaman yinede. Ama benim kafam yinede durdu. Polinom alıyoruz görüntüye gidince sıralı n li oluyor bilesenleride polinomlardan olusacak ama nasıl.  

Bir polinom aldığımızda görüntüde nasıl değiştireceğiz onu o zaman? Katsayılarla mi bağlantı kurmam gerekir görüntü için?

---

$1+x+x^2+2x^3+x^5$ polinomunun görüntüsünü yazmaya çalış. Bir taneci elemanın görüntüsünü yazamaya çalışsan, yazdıktan sonra yanıtın ne olduğunu bulacaksın.

---

aklıma söyle birşey geliyor ama emin degilim genede sizle paylasayım.

(1,1,1,2,0,1,0,....,0)

---

Aynen böyle, bravo! Peki şimdi genel bir polinom yazıp, bunu nereye gönderebileceğini yazabilir misin?

---

 

Evet istediğimiz kümedeki elemanlar böyle olacak.

---

Evet, şimdi elindeki polinomlar kümesinin ne kadar büyük olabileceğine dair iyice bir fikrinin oluştuğunu düşünüyorum. Peki, mesela $R$ bir halka ise, yukarıdakine benzer bir fonksiyonu, katsayıları $R$'den gelen polinomlar için nasıl yazardın?

---

Bu sefer katsayılar için modp ye göre hareket etmezdik. Daha da büyük bir kümemiz oldu. Katsayılar için tüm reel sayılar kullanılabilir.

 

---

Şimdi dönelim ilk sorunda aklına takılan kısma. Sorunu yeniden yazalım, karakteristiği $p$ olan bir cismi polinomlarla elde edebilir miyiz?

Soru basitçe şu olsun, sonra yavaş yavaş zorlaştırırız. Bu zaten yukardaki diğer arkadaşların da sorduğu soru. Senden istediğim, şuna karar vermen.

$\mathbb{Z}[X]$, bir cisim midir?

---

Bir cisim değildir. Toplama ve carpma işlemlerine göre bir halkadır.

---

Ama neden? Olmadığını ispatlamanı istiyorum.

---

Mesela 2 elemanının tersi olmadığını söylesem yetiyor mu?

Cisim olması için birimli ve çarpma işlemine göre tersi olması gerekiyordu. 

---

Evet, aşikar olmayan bir örnek verebilir misin?

---

Eğerim cisim olacaksa bunu sağlamalı. Öyleyse

 olur ki burda da görülecegi üzere

  olur. O halde terslenebilir değildir.

---

Buna benzer bir şeyi, rasyonel katsayili polinomlar için sorsam nasıl yaparsın peki?

---

Olur derim çünkü Z kümesindeki gibi terslenebilir değil olmayacak. Bu sayede rasyonel sayılarda aldıgımız herhangi bir polinom için tersi yine var olacak. Çünkü tamsayılardan daha geniş bir kümedeyiz.

bunu göstermemiz gerekli yine benzer şekilde yaparsak bulacagımız g'nin tersi fonksiyonu için   polinom halkasında bu özelliği saglayacaktır. Çünkü buradaki katsayılarda rasyonel sayılardan olusmaktadır.

Son olarak birimli olup olmadıgı incelemek kalır ki bu da halkamızın carpma işlemine göre etksiz elemanı var dersek cisim oldugunu söyleyebiliriz.

Umarım dediğinizi yanlıs anlamamışımdır.

---

Iddiani kanıtlamaya davet ediyorum seni. $1+x$ polinomunun tersi olan polinomu yazabilir misin lütfen?

---

benim iddiama göre;

olması gerekiyor diyor.

Ama nedense x-1 hiseediyorum.

---

Sorun şu, o yazdığın bir polinom değil, senin şu denkleme bir çözüm bulman gerek.

$(a_0+a_1x+...+a_nx^n)(x+1)=1$ eşitliğini sağlayan bir $n$ ve $a_0,a_1,...,a_n$ değerlerini bulman gerek.

---

Benim kafam yine karıstı. Mantık olarak o içteki polinomu 1/x+1 e eşit cıkarmak lazım değilmiydi?

  yoksa böyle degerler buluyorum katsayılar için.

---

Mantik herhangi bir şeye eşit çıkartmak değil, ne olduğunu bulmak. $1/1+x$ bir sembol. Bizim sorumuz ise şu: $1+x$ ile çarptığımızda $1$ bulacağımız bir polinom bulabilir miyiz?

Önce senin hatasnı söyleyeyim. $a_i$'ler için önerdiğin değerleri denemiyorsun. Denesen, bulacağın şey şu olacak: $1+0x+\cdots+0x^n=1$, ve $1$ ile $1+x$'i çarparsan, $1$ değil $x+1$ bulursun. Yani doğru cevap senin dediğin olamaz. Bir yanıt verince, bunu deneyip yanıtının doğru olup olmadığını bulabilirsin, ve deneyip bulmalısın da.

İkinci kısımda ipucu vereceğim $1+x$'in tersini nasıl bulacağına dair. Amacımız

$(1+x)f(x)=1$ eşitliğini sağlayan bir polinom bulup bulamayacağımıza karar vermek. O halde bir polinom prototipi yazıp, denklem kuralım, ve bu denklemi çözelim.

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ olsun prototipimiz. Sonuçta $n$'i ve $a_i$'leri dilediğim gibi seçip her polinomu yazabilirim. Tamamdır, o halde işimiz, 

$(1+x)(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)=1$ 

denklemini $n$ ve $a_i$'ler için çözmeliyiz. Ben biraz çözeceğim, gerisini sen getireceksin.

Çarpmaya başlayalım. Önce $1+x$ ile $a_0$ çarpalım. Ne elde ederiz? $a_0+a_0x$. Şimdi $1+x$ ile $a_1x$'i çarpalım. Bu sefer $a_1x+a_1x^2$ elde ederiz. O halde, çarpmamızın tamamını yazmadan, yukarıdaki denklemi şöyle yazabilirim değil mi?

$a_0+a_0x+a_1x+ \Big(a_1x^2+(1+x)(a_2x^2+\cdots+a_nx^n)\Big)=1$

Şimdi birkaç gözlem yapalım. Amacım, ufak terimlerin ne olduğunu bulmak. Geri kalanını sen bulacaksın. Farkındaysan, büyük parantez içinden gelecek terimlerin Çarpım olan kısmın çarpanlarından birisinde en ufak dereceli teremin derecesi $2$, demek ki çarpımda en az $x^2$ ama parantezin dışındaki üç terimin dereceleri en fazla $1$. Demek ki, parantez içindeki kısım $0$'a eşit olmalı, çünkü, karşı taraf $1$, yani ikinci dereceden hiçbir şey yok orada, o halde sağ taraftaki ikinci ve yüksek dereceden terimlerin ölmesi gerek. (DİKKAT: Büyük parantezin içinin sıfır olması gerektiğini biliyoruz ama bunu hangi $a_i$'ler ile elde edebileceğimizi bilmiyoruz.) Benzer nedenlerle büyük parantezin dışında kalan $a_0+a_0x+a_1x$ polinom $1$'e eşit olmalı. Yani $a_0+(a_0+a_1)x=1$ olmalı. Soldaki polinomun sabit katsayısı ile sağdakinin sabit katsayıları eşit olmalı, o halde $a_0=1$. Benzer biçimde, soldaki polinomda $x$'in katsayısı $a_0+a_1$, sağdakinde ise $0$, o halde $a_0+a_1=0$ olmalı, buradan da $a_1=-1$ olmalı sonucu çıkar. 

$n$ kaç olmalı, $a_2$ kaç olmalı, $a_3$ kaç olmalı vs...

Benim kadar senin de çalışman gerekiyor bu soru için.

---

Hocam kusura bakmayın. Dün gece bende asagıdaki denklemi yapmışım ama burdan o indisleri 1 ve 0 nasıl bulmusum merak ettim.

burdan çift indisli olanların sonucu 1 tek indisli olanların ise -1 oluyor ama hala n konusunda bir yere varamadım. Ne yazarsam yazayım n için hep bir tane  li terim artıyor. Böyle oluncada ben bu eşitlik için 1 sonucunu bulamıyorum.

---

Bu iş tamamdır. Sen bir polinom bulabileceğine inandığın için denklemi çözmeye çalışıyorsun, ama denklem bitmiyor, hep yeni bir şeyler çıkıyor. Matematik, inancının hurafe olduğunu gösteriyorsa, inancını kenara kaldırman gerekir. Biz de öyle yapalım ve bakış açımızı değiştirelim, doğrusu, inancımızı değiştirelim: Ben artık $1+x$ ile çarplınca $1$ değerini verecek bir polinom olduğuna inanmıyorum. 

O halde bu yeni inancımızı ispatlamaya çalışalım. Bunu ispatlamak daha kolay olacak. Öncelikle ispatlamamız gereken şeyi bir yazalım: Eğer $n$ pozitif bir tamsayı ise, $n$'inci dereceden $f(x)(x+1)=1$ eşitliğini sağlayan bir polinom yoktur. Tümevarımla bunu ispatlamanı istiyorum.

---

Katsayilarimiz rasyonel sayi, neden olmuyor ki? Daha dikkatli olmalısın. Birinci dereceden polinom çözümü olmadığını zaten gösterdik, yukarıdaki gibi çalışmalısın.

---

Yeniden bir düzenleme yaptım ama oldu mu ki 

---

Üşenmeyip yazmalısın, fotograftan okumaya çalışmayacağım.

---

Kusura bakmayın tekrar buyrun. Ben her zamanki gibi fotograf paylasmaya devam ediyorum.

Bu durumda da eşitliğimizi sağlayacak bir polinom olmadıgı gösterilmiş olur. Ben yukarıdaki fotografı gizliyorum.