Karakteristiği sıfırdan farklı cisimler

Question

Evet şimdi karakteristigi sıfırdan farklı olan p asal olmak üzere modp deki sayılar bize cisim verir tamam bunlar sonlu cisimler için ve sonlu elemanlı bu.

Sonsuz elamanlı ve karakteristiği 0 dan farklı olabilecek bir cisim polinom halkaları tarafından olabilir mi? Aklıma böyle geliyor ama sonra sonlu ve sonsuz olması gibi şeyleri mi karıstırıyorum diyorum. Yardımcı olabilir misiniz?

Comments

Bu sefer katsayılar için modp ye göre hareket etmezdik. Daha da büyük bir kümemiz oldu. Katsayılar için tüm reel sayılar kullanılabilir.

 

---

Şimdi dönelim ilk sorunda aklına takılan kısma. Sorunu yeniden yazalım, karakteristiği $p$ olan bir cismi polinomlarla elde edebilir miyiz?

Soru basitçe şu olsun, sonra yavaş yavaş zorlaştırırız. Bu zaten yukardaki diğer arkadaşların da sorduğu soru. Senden istediğim, şuna karar vermen.

$\mathbb{Z}[X]$, bir cisim midir?

---

Bir cisim değildir. Toplama ve carpma işlemlerine göre bir halkadır.

---

Ama neden? Olmadığını ispatlamanı istiyorum.

---

Mesela 2 elemanının tersi olmadığını söylesem yetiyor mu?

Cisim olması için birimli ve çarpma işlemine göre tersi olması gerekiyordu. 

---

Evet, aşikar olmayan bir örnek verebilir misin?

---

Eğerim cisim olacaksa bunu sağlamalı. Öyleyse

 olur ki burda da görülecegi üzere

  olur. O halde terslenebilir değildir.

---

Buna benzer bir şeyi, rasyonel katsayili polinomlar için sorsam nasıl yaparsın peki?

---

Olur derim çünkü Z kümesindeki gibi terslenebilir değil olmayacak. Bu sayede rasyonel sayılarda aldıgımız herhangi bir polinom için tersi yine var olacak. Çünkü tamsayılardan daha geniş bir kümedeyiz.

bunu göstermemiz gerekli yine benzer şekilde yaparsak bulacagımız g'nin tersi fonksiyonu için   polinom halkasında bu özelliği saglayacaktır. Çünkü buradaki katsayılarda rasyonel sayılardan olusmaktadır.

Son olarak birimli olup olmadıgı incelemek kalır ki bu da halkamızın carpma işlemine göre etksiz elemanı var dersek cisim oldugunu söyleyebiliriz.

Umarım dediğinizi yanlıs anlamamışımdır.

---

Iddiani kanıtlamaya davet ediyorum seni. $1+x$ polinomunun tersi olan polinomu yazabilir misin lütfen?

---

benim iddiama göre;

olması gerekiyor diyor.

Ama nedense x-1 hiseediyorum.

---

Sorun şu, o yazdığın bir polinom değil, senin şu denkleme bir çözüm bulman gerek.

$(a_0+a_1x+...+a_nx^n)(x+1)=1$ eşitliğini sağlayan bir $n$ ve $a_0,a_1,...,a_n$ değerlerini bulman gerek.

---

Benim kafam yine karıstı. Mantık olarak o içteki polinomu 1/x+1 e eşit cıkarmak lazım değilmiydi?

  yoksa böyle degerler buluyorum katsayılar için.

---

Mantik herhangi bir şeye eşit çıkartmak değil, ne olduğunu bulmak. $1/1+x$ bir sembol. Bizim sorumuz ise şu: $1+x$ ile çarptığımızda $1$ bulacağımız bir polinom bulabilir miyiz?

Önce senin hatasnı söyleyeyim. $a_i$'ler için önerdiğin değerleri denemiyorsun. Denesen, bulacağın şey şu olacak: $1+0x+\cdots+0x^n=1$, ve $1$ ile $1+x$'i çarparsan, $1$ değil $x+1$ bulursun. Yani doğru cevap senin dediğin olamaz. Bir yanıt verince, bunu deneyip yanıtının doğru olup olmadığını bulabilirsin, ve deneyip bulmalısın da.

İkinci kısımda ipucu vereceğim $1+x$'in tersini nasıl bulacağına dair. Amacımız

$(1+x)f(x)=1$ eşitliğini sağlayan bir polinom bulup bulamayacağımıza karar vermek. O halde bir polinom prototipi yazıp, denklem kuralım, ve bu denklemi çözelim.

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ olsun prototipimiz. Sonuçta $n$'i ve $a_i$'leri dilediğim gibi seçip her polinomu yazabilirim. Tamamdır, o halde işimiz, 

$(1+x)(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)=1$ 

denklemini $n$ ve $a_i$'ler için çözmeliyiz. Ben biraz çözeceğim, gerisini sen getireceksin.

Çarpmaya başlayalım. Önce $1+x$ ile $a_0$ çarpalım. Ne elde ederiz? $a_0+a_0x$. Şimdi $1+x$ ile $a_1x$'i çarpalım. Bu sefer $a_1x+a_1x^2$ elde ederiz. O halde, çarpmamızın tamamını yazmadan, yukarıdaki denklemi şöyle yazabilirim değil mi?

$a_0+a_0x+a_1x+ \Big(a_1x^2+(1+x)(a_2x^2+\cdots+a_nx^n)\Big)=1$

Şimdi birkaç gözlem yapalım. Amacım, ufak terimlerin ne olduğunu bulmak. Geri kalanını sen bulacaksın. Farkındaysan, büyük parantez içinden gelecek terimlerin Çarpım olan kısmın çarpanlarından birisinde en ufak dereceli teremin derecesi $2$, demek ki çarpımda en az $x^2$ ama parantezin dışındaki üç terimin dereceleri en fazla $1$. Demek ki, parantez içindeki kısım $0$'a eşit olmalı, çünkü, karşı taraf $1$, yani ikinci dereceden hiçbir şey yok orada, o halde sağ taraftaki ikinci ve yüksek dereceden terimlerin ölmesi gerek. (DİKKAT: Büyük parantezin içinin sıfır olması gerektiğini biliyoruz ama bunu hangi $a_i$'ler ile elde edebileceğimizi bilmiyoruz.) Benzer nedenlerle büyük parantezin dışında kalan $a_0+a_0x+a_1x$ polinom $1$'e eşit olmalı. Yani $a_0+(a_0+a_1)x=1$ olmalı. Soldaki polinomun sabit katsayısı ile sağdakinin sabit katsayıları eşit olmalı, o halde $a_0=1$. Benzer biçimde, soldaki polinomda $x$'in katsayısı $a_0+a_1$, sağdakinde ise $0$, o halde $a_0+a_1=0$ olmalı, buradan da $a_1=-1$ olmalı sonucu çıkar. 

$n$ kaç olmalı, $a_2$ kaç olmalı, $a_3$ kaç olmalı vs...

Benim kadar senin de çalışman gerekiyor bu soru için.

---

Hocam kusura bakmayın. Dün gece bende asagıdaki denklemi yapmışım ama burdan o indisleri 1 ve 0 nasıl bulmusum merak ettim.

burdan çift indisli olanların sonucu 1 tek indisli olanların ise -1 oluyor ama hala n konusunda bir yere varamadım. Ne yazarsam yazayım n için hep bir tane  li terim artıyor. Böyle oluncada ben bu eşitlik için 1 sonucunu bulamıyorum.

---

Bu iş tamamdır. Sen bir polinom bulabileceğine inandığın için denklemi çözmeye çalışıyorsun, ama denklem bitmiyor, hep yeni bir şeyler çıkıyor. Matematik, inancının hurafe olduğunu gösteriyorsa, inancını kenara kaldırman gerekir. Biz de öyle yapalım ve bakış açımızı değiştirelim, doğrusu, inancımızı değiştirelim: Ben artık $1+x$ ile çarplınca $1$ değerini verecek bir polinom olduğuna inanmıyorum. 

O halde bu yeni inancımızı ispatlamaya çalışalım. Bunu ispatlamak daha kolay olacak. Öncelikle ispatlamamız gereken şeyi bir yazalım: Eğer $n$ pozitif bir tamsayı ise, $n$'inci dereceden $f(x)(x+1)=1$ eşitliğini sağlayan bir polinom yoktur. Tümevarımla bunu ispatlamanı istiyorum.

---

Katsayilarimiz rasyonel sayi, neden olmuyor ki? Daha dikkatli olmalısın. Birinci dereceden polinom çözümü olmadığını zaten gösterdik, yukarıdaki gibi çalışmalısın.

---

Yeniden bir düzenleme yaptım ama oldu mu ki 

---

Üşenmeyip yazmalısın, fotograftan okumaya çalışmayacağım.

---

Kusura bakmayın tekrar buyrun. Ben her zamanki gibi fotograf paylasmaya devam ediyorum.

Bu durumda da eşitliğimizi sağlayacak bir polinom olmadıgı gösterilmiş olur. Ben yukarıdaki fotografı gizliyorum.