Monoton fonksiyon ölçülebilir fonksiyondur.

Question

Teorem : Bir aralıkta tanımlanan Monoton fonksiyon ölçülebilir fonksiyondur. (İngilizceden Türkçeye çeviride hata yapmış olabilirim.)

Bir fonksiyon monotonsa , artan veya azalan olabilir.Bunu biliyoruz.Ölçülebilir fonksiyon olabilmesi için 2 koşulu sağlamalı.

1)Tanım kümesi lebesgue ölçülebilir küme olmalı.

Bu zaten soruda verilmiş.Fonksiyon bir aralıkta tanımlanmış , o halde her aralık lebesgue ölçülebilir kümedir.

2)Bildiğimiz 4 adet önerme mevcut.Bu önermelerden en az 1 tanesi sağlanırsa o halde lebesgue ölçülebilir fonksiyon diyebiliriz.

Varsayalım fonksiyonumuz artan olsun.

$\{ x\in E:f\left( x\right) >c \}$

Varsayalım fonksiyonumuz azalan olsun.

$\{ x\in E:f\left( x\right) <c\}$

Şu ikisi de bize verilen 4 önermeye göre bunlar lebesgue ölçülebilirdir.

İspatım doğru mu ?

Comments

2.kısım olmadı gibime geliyor 

---

Verilenler arasında bu kümelerin ( $\{ x\in E:f\left( x\right) >c \}$ ve diğeri) ölçülebilir olduğu yok gördüğüm kadarı ile.

---

hocam benim notlarımda yazdığımız ifade için , her c sayısı yazdığımız ifade lebesgue ölçülebilir kümedir diyor.

---

ekte paylaştım

---

O önermelerin doğru olduğunu söylemiyor eşdeğer olduğunu söylüyor.

Kısaca: biri doğru ise hepsi doğrudur diyor.

---

$i$ şıkkının doğru olduğunu mu göstermeliyim ?

---

Hangisini istersen.

Önerme, biri doğru ise hepsi doğrudur diyor.

---

hocam benim biraz kafam karıştı , ölçülebilir fonksiyon olması için tanım kümesi ölçülebilir olmalı ve bu 4 koşuldan en az 1 tanesini sağlamalı.

buradaki i şıkkı , artan fonksiyon için sağlanmıyor mu ?

---

Artan fonksiyon tanımında "ölçülebilir" sözcüğü yok,  o koşul nasıl sağlanabilir ki?

---

monoton artan fonksiyon için : $x >y $ ise $f(x)>f(y)$ , 

fonksiyon artan olduğundan bir $c$ sayısından da büyük $f(x)$ yazabiliriz 

---

hocam şunu da biliyoruz sürekli fonksiyon ölçülebilirdir ve belirli bir aralıktaki monoton fonksiyon da süreklidir, ve dahası ölçülebilir diyebilir miyiz? 

---

belirli bir aralıktaki monoton fonksiyon da süreklidir, "

Böyle bir teorem mı var?

Tam değer fonksiyonunu düşün. Monoton ama ?

---

hocam ne yapmam lazım bir türlü işin içinden çıkamadım

---

Yapman gereken şey, kolay bir özüm aramaktan vazgeçip

$f$ monoton iken, herhangi bir $c$ sayısı için:

 (artan için ve azalan için farklı sonuç çıkacak)

$\{x:f(x)>c\},\ \{x:f(x)\geq c\},\ \{x:f(x)<c\},\ \{x:f(x)\leq c\},$

 kümelerinden birini HESAPLAMAK.

---

hocam hesaptan kastınız nedir ?

---

Yapısı hakkında, ölçülebilir olduğunu gösterebilecek kadar bilgi sahibi olmak.

---

hocam bu aralık belirtiyor o halde ölçülebilirdir demem gerekirdi değil mi ?

---

Aralık olduğunu nereden biliyorsun?

İnandırıcı bir neden var mı?

(hangisi?)

---

f(x) in c den büyük olduğu yerlerde aralık belirtiyor.