$65|n^{12}+n^2-5$

Question

ÖABT için uygun bir problem sunalım:

Problem (Lokman GÖKÇE): $0\leq n \leq 260$ olmak üzere $n^{12}+n^2-5$ ifadesinin $65$ ile tam bölünebilmesini sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 16 \qquad\textbf{b)}\ 20 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 28 \qquad\textbf{e)}\ 32 $

Answer 1

Atlanmamasi gereken: 
$5$in modsal $0$larinda ifade $5$e tam bolurunur. 
$13$ icin bu saglanmaz.

$5$ ve $13$ icin modsal sifirlari atarsak...
Euler phi geregi $n^{12}-1$ hem $5$e hem de $13$e tam bolunur. Bu nedenle $n^2-4$ ile ilgilenmeliyiz. $5$ ve $13$ asal oldugundan ve $2$de bariz cozum oldugunda mod olarak ikisinde de ikiser cozumleri vardir ve bu cozumlere karsilik gelen $\mod 65$ altinda (eslesme ile ve $\mod 5$in $0$i ile) $(2+1)\cdot 2=6$ cozum vardir. 

$260=65\cdot 4$ oldugundan cevap $6\cdot 4$ olur.

Not: Eger $0$ da bir cozum olsaydi $1$ daha eklerdik. Verilen aralikta $260$  degil $261$ ardasik tam sayi var.

Comments

Yanıt: $\boxed{C}$

En son not için ayrıca teşekkürler Sercan bey. Soruyu kurgularken $0 \leq n < 260 $ olarak ayarlamıştım. Ancak foruma yazarken sehven $0 \leq n \leq 260 $ yazmışım. Bundan dolayı verilen aralıkta $261$ sayı var, dikkat edilmesi gerekiyor. Yine de seçeneklerde sorun olmadığı için değişiklik yapmadan bu şekilde bırakıyorum.