Üç kare toplamı

Question

Matematik ÖABT seviyesine uygun bir problem sunalım:

Problem: $x,y,z \in \mathbb Z$ olmak üzere, aşağıdaki sayılardan hangisi $x^2 + y^2 + z^2$ biçiminde yazılamaz? 

$ \textbf{a)}\ 3405 \qquad\textbf{b)}\ 4109 \qquad\textbf{c)}\ 4242 \qquad\textbf{d)}\ 4727 \qquad\textbf{e)}\ 5323 $

İpucu: $32^2 + 34^2 + 35^2 = 3405$ gibi eşitlikler elde edilebilir ancak bundan çok daha hızlı sonuç verecek yöntemler olabilir!

Answer 1

Düzeltme: Ben 8 e bölümünde kalanı yanlış  hesaplamışım. O satırı düzeltiyorum.

----------------------------------------------------------------------------------------------

(Teker teker) 0 dan 7 e kadar sayıların kareleri alınarak aşağıdaki sonuç elde edilir :

Bir tamsayının karesi , 8 moduna göre  sadece 0,1 ve 4 e denk olabilir. (yani 8 e bölümünden kalan sadece 0,1, veya 4 olabilir) 

Bunlardan 3 tanesini toplayarak 8 moduna göre 7 hariç her türlü kalanı elde edebiliriz. 

Ama 7 elde edemeyiz. Öyleyse 3 tam karenin toplamı 8 moduna göre 7 ye denk olamaz.

Hatalı: Verilen sayılardan sadece biri (5323) 8 e bölündüğünde 7 kalanı veriyor. 

Doğrusu: Verilen sayılardan sadece biri (4727) 8 e bölündüğünde 7 kalanı veriyor. 

O sayı üç tam karenin toplamı olamaz.

(ama bu, diğer sayıların, 3 tam karenin toplamı olduğu anlamına gelmez!)

Comments

Son cümleniz için ayrıca teşekkürler Doğan hocam, bahsettiğini husus yanlış yorumlara girilebilen ve karıştırılan bir noktadır. Seçenekleri yazarken, $32^2 + 34^2 + 35^2 = 3405 $ örneğinde olduğu gibi, b-c-e seçeneklerindeki diğer sayıları da üç tam kare toplamı olacak biçimde örneklendirerek hazırlamıştım. Dolayısıyla soruda sıkıntı oluşturacak bir nokta bırakmadım.

Bununla ilgili aklıma gelen bir soru daha var şimdi, onu da burada sordum. Böylece bu iki problem birbirini tamamlamış olacaktır.