Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
4.3k kez görüntülendi

Kareli ortalaması $12$ , aritmetik ortalaması $8$ olan kitlenin varyansı nedir?

Lisans Matematik kategorisinde (467 puan) tarafından  | 4.3k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n$ tane terimden oluşan kesikli veri grubunu alalım: $x_1, x_2, \dots, x_n$ terimlerinin karesel ortalaması $$ \sqrt{\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k^2}{n}}=12$$ ve aritmetik ortalaması $$ \bar{x} = \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k}{n} = 8$$ veriliyor. $$ (x_k - \bar{x})^2 = x_k^2 - 2x_k\bar{x} + \bar{x}^2$$ tam kare özdeşliğini ve toplam sembolünün özelliklerini kullanarak

$$ \sum_{k=1}^n(x_k - \bar{x})^2 = \sum_{k=1}^nx_k^2 -16\sum_{k=1}^nx_k + 64n $$ olup $$ \sum_{k=1}^n(x_k - \bar{x})^2 =144n -16\cdot 8n + 64n = 80n$$ elde edilir. Buna göre $$ \text{Var} = \sum_{k=1}^n\dfrac{(x_k-\bar{x})^2}{n-1} =\dfrac{80n}{n-1}$$ elde edilir.


Not: Veri grubu kesikli değil de sürekli olursa toplam sembollerinin yerine integral kullanılacaktır. Bu durumda da veri sayısı için $n\to \infty $ durumu oluştuğundan $$\text{Var} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{80n}{n-1} = 80$$elde edilecektir diye umuyorum. İntegral gösterimi içeren sürekli veri grubun ait çözümü size bırakıyorum.

(2.6k puan) tarafından 

Teşekkür ederim lokman hocam en kisa zamanda bakacam.

Varyans ve stardart sapma hesabı yapılırken $n$ ile bölme veya $n-1$ ile bölme kullanılabiliyor. Normal olanı $n$ ile bölmek. Fakat $n-1$ ile bölmeye de Bessel Düzeltmesi deniyordu. Küçük $n$ değerlerinde $n$ ile bölmek, varyans hesabında istenen etkiyi göstermediği için $n-1$ ile bölme şeklinde bir düzeltme formülü üretilmiş ve hatta $n-2$ ile bölme yapılan bir başka düzeltme formülü de var diye biliyorum.

 

$n$ ile bölme tanımına göre, $$ \text{Var} = \sum_{k=1}^n\dfrac{(x_k-\bar{x})^2}{n} =\dfrac{80n}{n} = \boxed{80} $$

sabit değeri elde edilir.

20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,129,772 kullanıcı