Kaliteli fonksiyon sorusu

Question

$f(x)= 2+ \frac{3x}{x^2+1}$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç tam sayı vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Comments

Fonksiyon $f(x)=(2+3x)/(x^2+1)$ şeklinde mi yoksa $f(x)=2+ 3/x+1$ şeklinde mi?

---

2+ (3x/x^2 +1) şeklinde yani payda 3x var paydada x kare artı bir var

---

Siz bu soruda neler denediniz?

---

3x i x^2 +1 e ve eksilisine eşitledim ancak çözümümde hata olduğunu düşünüyorum hesaba katmadığım olasılıklar var.

---

0 da saglar, cevap 5 gibi..

---

Maalesef yanlış cevaba 3 diyor.

Answer 1

$f(x)=2+\frac{3x}{x^2+1}$

$x^2+1=3x\implies x^2-3x+1=0\implies x= \frac{1}{2} \left(3\pm\sqrt{5}\right)  $

$x^2+1=-3x\implies x^2+3x+1=0\implies x= \frac{1}{2} \left(-3\pm\sqrt{5}\right)  $

$f(\frac{1}{2} \left(3+\sqrt{5}\right) )=2+1=3$

$f(\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{5}\right) )=2+1=3$

$f(\frac{1}{2} \left(-3+\sqrt{5}\right) )=2+1=1$

$f(\frac{1}{2} \left(-3-\sqrt{5}\right) )=2+1=1$

$f(0)=2$

Answer 2

($(|x|-1)^2\geq0$ olduğu için)  Her $x$ için $2|x|\leq x^2+1$ ve eşitlik yalnızca $|x|=1$ iken sağlanır.

$\frac{2|x|}{x^2+1}\leq1$ ve bunun sonucu olarak, $\frac{3|x|}{x^2+1}\leq\frac32$ olup eşitlik sadece $|x|=1$ iken sağlanır. Bu da $-\frac32\leq\frac{3x}{x^2+1}\leq\frac32$ (ve uçlardaki değerleri alıyor) olması  demektir.

$\frac{3x}{x^2+1}$ sürekli bir fonksiyon olduğundan $[-\frac32,\frac32]$ arasındaki her değeri, dolayısıyla $-1,0,1$ tamsayı değerlerini (diğer çözümde açıkça gösterildiği gibi) alır  ve bunlardan başka tamsayı değeri alamaz.

$f(x)$ ise (sadece) bunların 2 fazlası olan, $1,2,3$ tamsayı değerlerini alır.

Comments

Hocam çözüme hayran kaldım nasıl böyle düşünebiliyorsunuz gerçekten matematiğin erbabı olmuşsunuz :)