Parabollü fonksiyon sorusu

Question

x,y eksenini (0,0) ve (2,0) noktalarında kesen bir f(x) parabolü g(x) doğrusuyla (0,0) ve (4,4) noktalarında kesişmektedir. Buna göre  $\displaystyle\frac{(gof)(4)}{(fog)(6)}$ değeri kaçtır?

f(x) parabolünün tepe noktası belli değil sadece iki yerde x noktasını kesmiş. Fakat baktığım çoğu soruda noktaları verilen parabolde 3 noktayı kestiği için denklemini çıkaramadım. Bu yüzden y=f(x) şeklinde düşüneyim dedim. g(x) orijinden geçen bir doğru, o halde g(x)=2x denklemi çıkıyor. Fakat x yerine 6 yazınca g(6)=12 çıkıyor ve f(12) nin görüntüsünü bulamadım. İyicene allak bullak oldu soru. Yardım eder misiniz?

Comments

Parabol (0,2) sen geçiyor mu kontrol eder misiniz ? 

---

Yanlış yazmışım. (2,0) noktasından geçiyor.

---

$g(x)=2x$ doğru değil. Bu doğrunun $(4,4)$ noktasından geçtiği söylenmiş.

$f(x)$ ikinci derece polinom olduğundan, üç katsayısı, geçtiği 3 nokta biliniyorken bulunabilir.

---

Eğer $f(x)$ parabolü $x-$ eksenini $(0,0),(2,0)$ noktalarında kesiyorsa $f(x)=a.x.(x-2)$ şeklinde olmalıdır.  Ayrıca orijinden geçen doğruların genel denklemi $g(x)=mx$ şeklinde olduğundan,verilenlere göre  $g(x)=x$ olmalıdır.  Diğer taraftan $a<0$ ise bu iki eğri $(4,4)$ noktasında kesişemezler (neden?)  $a\neq 0$ olduğundan,demek ki $a>0$ dir.  O zaman $(4,4)$ noktası da parabol üzerinde olmak zorundadır. Yani $4=a.4.(4-2)\rightarrow a=\frac 12$ dir.  O zaman  $f(x)=2x(x-2)=2x^2-4x$ olur.   

$f(4)=16, g(16)=16$ ve $g(6)=6,f(6)=48$ olduklarından $\frac{(gof)(4)}{(fog)(6)}=\frac{16}{48}=\frac 13$ olur