Kompakt uzay olma özelliği kalıtsal özellik midir?

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$`` ((X,\tau), \text{ kompakt uzay})(\emptyset\neq A\subseteq X) \Rightarrow (A,\tau_A), \text{ kompakt uzay}"$

önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$X=\mathbb{Z}\cup\{\sqrt 2,\sqrt 3 \}$  ve  $\tau=2^\mathbb{Z}\cup\{\mathbb{Z}\cup\{\sqrt 2 \},\mathbb{Z}\cup\{\sqrt 3 \} , X \}$ 

olmak üzere $(X,\tau)$ kompakt uzay olmasına karşın $A=\mathbb{Z}$ kümesi $\tau$-kompakt değildir. O halde 

$(A,\tau_A), \text{ kompakt uzay} \Rightarrow A, \ \tau\text{-kompakt} $ önermesinin karşıt tersinden $(\mathbb{Z},\tau_ \mathbb{Z})$ kompakt uzay değildir. O halde kompakt uzay olma özelliği kalıtsal bir özellik değildir.

Comments

Fakat kompakt uzayların kapalı altuzayları kompakttır. Yani

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$((X,\tau), \text{ kompakt uzay})(A\in\mathcal{C}(X,\tau)) \Rightarrow (A,\tau_A), \text{ kompakt uzay}$