Kompakt uzay olma özelliği topolojik bir özellik midir?

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$   topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$  fonksiyon olmak üzere

$``((X,\tau_1), \text{ kompakt uzay})(f,\text{ homeomorfizm}) \Rightarrow (Y,\tau_2) , \text{ kompakt uzay}"$

önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$(X,\tau_1),$  kompakt uzay ve  $f:X\to Y$  homeomorfizm olsun. 

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau_1), \text{ kompakt uzay}\Rightarrow X, \ \tau_1\text{-kompakt} \\ \\ f, \ (\tau_1\text{-}\tau_2) \text{ homeomorfizm} \Rightarrow f, \ (\tau_1\text{-}\tau_2)\text{ sürekli} \end{array}\right\}\overset{\star}\Rightarrow f[X], \ \tau_2\text{-kompakt} \ldots (1) $

$f:X\to Y  \ \text{ homeomorfizm} \Rightarrow f:X\to Y \text{ örten}\Rightarrow f[X]=Y\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow Y, \ \tau_2\text{-kompakt}\Rightarrow (Y,\tau_2), \text{ kompakt uzay}.$

Not: $`` \ \star"$  işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.