İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği: f:[a,b]→R fonksiyonu [a,b] aralığında integrallenebilir olsun. Bu durumda |∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx olur.
İspat: a1,a2,…,an gerçel sayıları için |a1+a2+⋯+an|≤|a1|+|a2|+⋯+|an| üçgen eşitsizliğini biliyoruz. (Klasik üçgen eşitsizliğine tümevarım uygulanarak ispatlanabilir. Meraklılarının bunu denemesinde fayda var.)
[a,b] aralığının bir parçalanışı [x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn] ve |P|=max olsun. Her i=1,2,\dots , n için bir x_i' \in [x_{i-1},x_i] noktası alarak \sum_{i=1}^{n}f(x_i')(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i Riemann toplamını oluşturalım. Üçgen eşitsizliğinden, limit özelliklerinden ve f integrallenebilir iken |f| nin de integrallenebilir oluşundan \left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = \left| \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i \right| \leq \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n} \left |f(x_i') \right |\Delta x_i = \int_{a}^{b} \left| f(x) \right| dx elde edilir.
Birçok eşitsizliğin geometrik yorumunu vermekte, öğretme yöntemi bakımından büyük yarar var. Biz de bu kısmı pas geçmeyelim. Çok temel bir gerçekten hareket edilerek bu eşitsizlik elde edilmiştir.
Geometrik Yorumu: f fonksiyonunun grafiği ile x ekseninin sınırladığı bölgelerden; x ekseninin üstünde kalan alanların toplamı A_1, x ekseninin altında kalan alanların toplamı A_2 olmak üzere \left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = |A_1-A_2| ve \int_{a}^{b}\left| f(x) \right| dx = A_1+A_2 olup integral eşitsizliği, |A_1-A_2| \leq A_1 + A_2 alan eşitsizliğine denktir.